Qu'est-ce qu'un problème ?
Un problème est une petite histoire avec des nombres, dont un ou plusieurs sont cachés. Notre travail est de les trouver.
L'arithmétique peut trouver la réponse en essayant des nombres. L'algèbre est plus rapide et plus sûre : on donne au nombre caché une lettre (comme x) et on calcule avec elle comme avec n'importe quel nombre. Cette lettre s'appelle l'inconnue ou la variable.
Regarde la balance 3D ci-dessus. Les crayons de Mia forment une pile bleue de x blocs. Le plateau de gauche contient tous les crayons, celui de droite contient 13. Deux plateaux à égalité veulent dire qu'une équation est vraie.
La méthode algébrique en quatre étapes
- Nommer l'inconnue. Écris exactement ce qu'elle représente, par exemple : soit x = le nombre de crayons de Mia. N'oublie pas l'unité.
- Équation. Dis l'histoire en maths. Les mots de plus que veulent dire +, de moins que veulent dire −, fois ou le double veulent dire ×, est ou au total veulent souvent dire =.
- Résoudre. Fais la même opération des deux côtés jusqu'à ce que x soit seul.
- Vérifier. Mets la réponse dans l'histoire, pas seulement dans ton équation. Puis écris la réponse dans une phrase complète avec l'unité.
Traduis avec soin : 5 de plus que x s'écrit x + 5, mais 5 de moins que x s'écrit x − 5 et x de moins que 5 s'écrit 5 − x.
Les types de problèmes courants
Problèmes de nombres et d'âges
Deux nombres consécutifs : x et x + 1. Trois nombres pairs consécutifs : x, x + 2, x + 4. Pour les âges, souviens-toi qu'après n ans tout le monde a n ans de plus.
Problèmes de mouvement
distance = vitesse × temps. Si deux voyageurs avancent l'un vers l'autre, leurs vitesses s'additionnent. Sur une rivière, un bateau va à (vitesse du bateau + vitesse du courant) en descendant et à (vitesse du bateau − vitesse du courant) en remontant.
Problèmes de travail
Si un robinet remplit un réservoir en 6 heures, en 1 heure il en remplit 1/6. Additionne les parties faites en une heure et trouve le temps total.
Problèmes de pourcentage et de mélange
Une partie est un pourcentage du tout : partie = (p/100) × tout. Additionne les quantités de substance pure dans chaque mélange pour écrire l'équation.
Problèmes de formes
Utilise aire = longueur × largeur, périmètre = 2(longueur + largeur). L'histoire donne souvent le lien entre un côté et l'autre.
Deux inconnues et équations du second degré
Parfois, une histoire cache deux nombres, comme le prix d'un stylo et celui d'un cahier. On utilise alors deux lettres et on écrit deux équations. On les résout par addition, soustraction ou substitution (un système d'équations linéaires).
Parfois, l'équation contient x². Par exemple, un rectangle a pour longueur (w + 3) et pour aire 40, donc w(w + 3) = 40, ce qui donne w² + 3w − 40 = 0. La résolution donne deux racines, mais l'histoire n'en accepte peut-être qu'une. Une longueur ne peut pas être négative, donc on rejette cette racine. Teste toujours chaque racine dans l'histoire.
À toi : une balance à la maison
Prends une règle et un crayon pour faire une balançoire, deux petites tasses et 20 pièces ou haricots identiques. Mets quelques haricots dans une tasse et cache-les sous un tissu : ce nombre est x. Demande à un ami de poser la même tasse de l'autre côté et d'ajouter 3 haricots d'un côté. Prédis d'abord : combien y a-t-il de haricots dans la tasse si la balançoire reste horizontale quand l'autre côté en compte 13 ? Puis ouvre le tissu et vérifie. Écris l'équation que tu as utilisée.
Formules et définitions clés
- Étapes : Nommer l'inconnue → Équation → Résoudre → Vérifier
- Nombres consécutifs : x, x + 1, x + 2
- distance = vitesse × temps
- Deux mobiles l'un vers l'autre : (vitesse A + vitesse B) × temps = distance
- Rivière : descente = bateau + courant, remontée = bateau − courant
- Travail : les parties par heure s'additionnent ; temps ensemble = 1 ÷ (1/a + 1/b)
- Rectangle : aire = longueur × largeur, périmètre = 2(longueur + largeur)
Exemples résolus
1. La somme de deux nombres consécutifs est 41. Trouve-les.
Soit x le plus petit nombre. Le suivant est x + 1. Équation : x + (x + 1) = 41, donc 2x + 1 = 41, 2x = 40, x = 20. Les nombres sont 20 et 21. Vérification : 20 + 21 = 41.
2. Un père a 4 fois l'âge de son fils. Dans 5 ans, la somme de leurs âges sera 55. Trouve leurs âges actuels.
Soit x l'âge du fils en années, 4x celui du père. Dans 5 ans : (x + 5) + (4x + 5) = 55, donc 5x + 10 = 55, 5x = 45, x = 9. Fils 9 ans, père 36 ans. Vérification : dans 5 ans, 14 + 41 = 55.
3. Deux villes sont à 180 km l'une de l'autre. Une voiture part de chaque ville en même temps, l'une vers l'autre, à 50 km/h et 40 km/h. Quand se croisent-elles ?
Soit t le temps en heures. Distances : 50t + 40t = 180, donc 90t = 180, t = 2. Elles se croisent après 2 heures. Vérification : 100 km + 80 km = 180 km.
4. Un robinet remplit un réservoir en 6 heures. Un second le remplit en 3 heures. Combien de temps mettent-ils ensemble ?
En 1 heure, les robinets remplissent 1/6 + 1/3 = 1/6 + 2/6 = 3/6 = 1/2 du réservoir. Le réservoir entier demande donc 2 heures.
5. 3 stylos et 2 cahiers coûtent Rs 70. 2 stylos et 3 cahiers coûtent Rs 80. Trouve le prix d'un stylo et d'un cahier.
Soit p le prix d'un stylo et n celui d'un cahier. 3p + 2n = 70 et 2p + 3n = 80. Soustrais la seconde de la première : p − n = −10. Additionne-les : 5p + 5n = 150, donc p + n = 30. Alors n = p + 10, donc 2p + 10 = 30, p = 10, n = 20. Un stylo coûte Rs 10 et un cahier Rs 20. Vérification : 30 + 40 = 70 et 20 + 60 = 80.
6. Un rectangle est plus long de 3 m que large. Son aire est 40 m². Trouve ses côtés.
Soit w m la largeur. Longueur w + 3. Aire : w(w + 3) = 40, donc w² + 3w − 40 = 0. Factorise : (w + 8)(w − 5) = 0, donc w = −8 ou w = 5. Une largeur ne peut pas être négative, donc w = 5 m et la longueur est 8 m. Vérification : 5 × 8 = 40.
7. Un bateau fait 36 km en descendant et 36 km en remontant, en 9 heures au total. Le courant est de 3 km/h. Trouve la vitesse du bateau en eau calme.
Soit v km/h la vitesse du bateau. Temps = distance ÷ vitesse, donc 36/(v + 3) + 36/(v − 3) = 9. Multiplie par (v + 3)(v − 3) : 36(v − 3) + 36(v + 3) = 9(v² − 9), donc 72v = 9v² − 81, v² − 8v − 9 = 0, (v − 9)(v + 1) = 0. v = 9 (une vitesse ne peut pas être négative). Vérification : 36/12 + 36/6 = 3 + 6 = 9 heures.
Erreurs fréquentes
- Écrire des équations sans dire ce que x représente. Écris toujours : soit x = ... avec l'unité.
- Se tromper sur « de moins que ». 5 de moins que x s'écrit x − 5, pas 5 − x.
- Vérifier seulement dans l'équation. Si tu as mal écrit l'équation, elle se vérifie quand même. Vérifie dans l'histoire.
- Garder une réponse qui ne convient pas à l'histoire, comme une longueur négative ou une demi-personne comme 2,5 enfants.