Was ist eine Textaufgabe?
Eine Textaufgabe ist eine kurze Geschichte mit Zahlen, bei der eine oder mehrere Zahlen versteckt sind. Unsere Aufgabe ist, sie zu finden.
Mit Rechnen kann man die Lösung durch Ausprobieren finden. Algebra ist schneller und sicherer: Wir geben der versteckten Zahl einen Buchstaben (zum Beispiel x) und rechnen dann damit wie mit jeder anderen Zahl. Der Buchstabe heißt Unbekannte oder Variable.
Schau dir die 3D-Waage oben an. Mias Stifte sind ein blauer Stapel aus x Blöcken. In der linken Schale liegen alle Stifte, in der rechten liegen 13. Gleich schwere Schalen bedeuten eine wahre Gleichung.
Die algebraische Methode in vier Schritten
- Name der Unbekannten. Schreibe genau auf, was sie bedeutet, zum Beispiel: x sei die Anzahl von Mias Stiften. Vergiss die Einheit nicht.
- Gleichung. Sage die Geschichte in Mathe. Wörter wie mehr als bedeuten +, weniger als bedeuten −, mal oder doppelt bedeuten ×, ist oder insgesamt bedeuten oft =.
- Lösen. Mache auf beiden Seiten dasselbe, bis x allein steht.
- Prüfen. Setze die Lösung in die Geschichte ein, nicht nur in deine Gleichung. Schreibe dann die Antwort in einem ganzen Satz mit Einheit.
Übersetze genau: 5 mehr als x ist x + 5, aber 5 weniger als x ist x − 5 und x weniger als 5 ist 5 − x.
Häufige Arten von Textaufgaben
Zahlen- und Altersaufgaben
Zwei aufeinanderfolgende Zahlen: x und x + 1. Drei aufeinanderfolgende gerade Zahlen: x, x + 2, x + 4. Bei Altersaufgaben gilt: Nach n Jahren ist jeder n Jahre älter.
Bewegungsaufgaben
Weg = Geschwindigkeit × Zeit. Wenn zwei Personen aufeinander zufahren, addieren sich ihre Geschwindigkeiten. Auf einem Fluss fährt ein Boot flussabwärts mit (Bootsgeschwindigkeit + Strömung) und flussaufwärts mit (Bootsgeschwindigkeit − Strömung).
Arbeitsaufgaben
Wenn ein Wasserhahn einen Tank in 6 Stunden füllt, füllt er in 1 Stunde 1/6 des Tanks. Addiere die Teile, die in einer Stunde geschafft werden, und finde so die ganze Zeit.
Prozent- und Mischungsaufgaben
Ein Teil ist ein Prozentsatz vom Ganzen: Teil = (p/100) × Ganzes. Addiere die Mengen des reinen Stoffes in jeder Mischung, um die Gleichung zu bauen.
Formaufgaben
Nutze Fläche = Länge × Breite und Umfang = 2(Länge + Breite). Oft sagt die Geschichte, wie eine Seite mit der anderen zusammenhängt.
Zwei Unbekannte und quadratische Gleichungen
Manchmal hat eine Geschichte zwei versteckte Zahlen, zum Beispiel den Preis eines Stifts und den Preis eines Hefts. Dann nehmen wir zwei Buchstaben und schreiben zwei Gleichungen. Wir lösen sie durch Addieren, Subtrahieren oder Einsetzen (ein lineares Gleichungssystem).
Manchmal enthält die Gleichung x². Zum Beispiel hat ein Rechteck die Länge (w + 3) und den Flächeninhalt 40, also w(w + 3) = 40, das ergibt w² + 3w − 40 = 0. Beim Lösen bekommen wir zwei Lösungen, aber die Geschichte erlaubt vielleicht nur eine. Eine Länge kann nicht negativ sein, also streichen wir diese Lösung. Teste immer jede Lösung in der Geschichte.
Probier es aus: eine Waage zu Hause
Nimm ein Lineal und einen Stift als Wippe, zwei kleine Tassen und 20 gleiche Münzen oder Bohnen. Lege einige Bohnen in eine Tasse und verstecke sie unter einem Tuch: Diese Zahl ist x. Bitte einen Freund, dieselbe Tasse auf die andere Seite zu stellen und auf einer Seite 3 Bohnen dazuzulegen. Sag zuerst voraus: Wie viele Bohnen sind in der Tasse, wenn die Wippe im Gleichgewicht bleibt, während die andere Seite 13 hat? Dann hebe das Tuch und prüfe nach. Schreibe die Gleichung auf, die du benutzt hast.
Wichtige Formeln und Definitionen
- Schritte: Name der Unbekannten → Gleichung → Lösen → Prüfen
- Aufeinanderfolgende Zahlen: x, x + 1, x + 2
- Weg = Geschwindigkeit × Zeit
- Aufeinander zu: (Geschwindigkeit A + Geschwindigkeit B) × Zeit = Weg
- Fluss: flussabwärts = Boot + Strömung, flussaufwärts = Boot − Strömung
- Arbeit: Teile pro Stunde werden addiert; gemeinsame Zeit = 1 ÷ (1/a + 1/b)
- Rechteck: Fläche = Länge × Breite, Umfang = 2(Länge + Breite)
Gelöste Beispiele
1. Die Summe zweier aufeinanderfolgender Zahlen ist 41. Finde die Zahlen.
Die kleinere Zahl sei x. Die nächste ist x + 1. Gleichung: x + (x + 1) = 41, also 2x + 1 = 41, 2x = 40, x = 20. Die Zahlen sind 20 und 21. Probe: 20 + 21 = 41.
2. Ein Vater ist 4-mal so alt wie sein Sohn. In 5 Jahren ist die Summe ihrer Alter 55. Wie alt sind sie jetzt?
Der Sohn sei x Jahre alt, der Vater 4x. In 5 Jahren: (x + 5) + (4x + 5) = 55, also 5x + 10 = 55, 5x = 45, x = 9. Sohn 9, Vater 36. Probe: in 5 Jahren 14 + 41 = 55.
3. Zwei Städte sind 180 km voneinander entfernt. Aus jeder Stadt fährt gleichzeitig ein Auto los, die Autos fahren aufeinander zu mit 50 km/h und 40 km/h. Wann treffen sie sich?
Die Zeit sei t Stunden. Wege: 50t + 40t = 180, also 90t = 180, t = 2. Sie treffen sich nach 2 Stunden. Probe: 100 km + 80 km = 180 km.
4. Ein Hahn füllt einen Tank in 6 Stunden. Ein zweiter Hahn füllt ihn in 3 Stunden. Wie lange brauchen beide zusammen?
In 1 Stunde füllen die Hähne 1/6 + 1/3 = 1/6 + 2/6 = 3/6 = 1/2 des Tanks. Der ganze Tank braucht also 2 Stunden.
5. 3 Stifte und 2 Hefte kosten Rs 70. 2 Stifte und 3 Hefte kosten Rs 80. Finde den Preis eines Stifts und eines Hefts.
Ein Stift koste p und ein Heft n. 3p + 2n = 70 und 2p + 3n = 80. Subtrahiere die zweite von der ersten: p − n = −10. Addiere beide: 5p + 5n = 150, also p + n = 30. Dann ist n = p + 10, also 2p + 10 = 30, p = 10, n = 20. Ein Stift kostet Rs 10 und ein Heft Rs 20. Probe: 30 + 40 = 70 und 20 + 60 = 80.
6. Ein Rechteck ist 3 m länger als breit. Sein Flächeninhalt ist 40 m². Finde die Seiten.
Die Breite sei w m. Länge w + 3. Fläche: w(w + 3) = 40, also w² + 3w − 40 = 0. Faktorisieren: (w + 8)(w − 5) = 0, also w = −8 oder w = 5. Eine Breite kann nicht negativ sein, also w = 5 m und die Länge ist 8 m. Probe: 5 × 8 = 40.
7. Ein Boot fährt 36 km flussabwärts und 36 km zurück flussaufwärts, insgesamt in 9 Stunden. Der Fluss fließt mit 3 km/h. Finde die Geschwindigkeit des Bootes im stillen Wasser.
Die Geschwindigkeit des Bootes sei v km/h. Zeit = Weg ÷ Geschwindigkeit, also 36/(v + 3) + 36/(v − 3) = 9. Mit (v + 3)(v − 3) multiplizieren: 36(v − 3) + 36(v + 3) = 9(v² − 9), also 72v = 9v² − 81, v² − 8v − 9 = 0, (v − 9)(v + 1) = 0. v = 9 (die Geschwindigkeit kann nicht negativ sein). Probe: 36/12 + 36/6 = 3 + 6 = 9 Stunden.
Häufige Fehler
- Gleichungen aufschreiben, ohne zu sagen, was x bedeutet. Schreibe immer: x sei ... mit Einheit.
- „Weniger als“ verwechseln. 5 weniger als x ist x − 5, nicht 5 − x.
- Nur in der Gleichung prüfen. Wenn du die Gleichung falsch aufgestellt hast, stimmt die Probe trotzdem. Prüfe in der Geschichte.
- Eine Lösung behalten, die nicht zur Geschichte passt, etwa eine negative Länge oder einen halben Menschen wie 2.5 Kinder.