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Gleichungen und Ungleichungen mit Parameter

Ein Parameter ist ein Buchstabe wie a, der für eine feste Zahl steht, die wir aber noch nicht kennen. Wir fragen: "Für welche a hat die Gleichung 0, 1, 2 oder mehr Lösungen?". Bei der grafischen Methode schreiben wir die Gleichung als f(x) = a und schieben die waagrechte Gerade y = a über die Kurve y = f(x).

🎬 Geschichte Schritt für Schritt

  1. Die Gleichung ist x² = a. Zeichne die Kurve y = x² und die orange Gerade y = a. Jeder grüne Punkt, in dem sie sich treffen, ist eine Lösung. Jetzt ist a = 4 und es gibt 2 Punkte.
  2. Schiebe die Gerade nach unten auf a = 0. Die Gerade berührt nur den tiefsten Punkt der Kurve. Es bleibt 1 Punkt.
  3. Schiebe sie unter die Kurve, a = −2. Die Gerade verfehlt die Kurve. Kein Punkt, also keine Lösung.
  4. Eine neue Kurve: y = |x² − 4|, sie sieht aus wie ein W. Bei a = 2 schneidet die Gerade sie an 4 Stellen.
  5. Hebe die Gerade auf a = 4. Sie geht durch den mittleren Gipfel, also gibt es 3 Punkte. Die Anzahl ändert sich bei besonderen Werten von a.
  6. Freies Spielen mit |x − 1| + |x + 1| = a. Finde das a, bei dem die Gerade auf einem flachen Stück liegt und unendlich viele Lösungen entstehen.

Tipp: Zieh die 3D-Szene, um sie zu drehen. Mit zwei Fingern zoomst du.

🤔 Häufige Zweifel, geklärt

Was bedeuten die grünen Punkte?

Jeder grüne Punkt ist ein Punkt, in dem die Gerade die Kurve trifft. Sein x-Wert ist eine Lösung der Gleichung.

Ist eine Berührung eine Lösung oder zwei?

Eine Lösung. Bei a = 0 berührt die Gerade nur den tiefsten Punkt der Schüssel, also gibt es nur ein x.

Was ist, wenn die Gerade unter der Kurve liegt?

Dann treffen sie sich nie. Für dieses a hat die Gleichung keine Lösung.

Warum hat |x² − 4| = a 4 Lösungen?

Die W-förmige Kurve steigt zu beiden Seiten jedes Tiefpunkts an, also kreuzt eine Gerade zwischen 0 und 4 vier Äste.

Warum ist a = 4 besonders?

Bei a = 4 geht die Gerade durch den mittleren Gipfel, an dem sich zwei Äste treffen, also fallen zwei Schnittpunkte zu einem zusammen. Die Anzahl sinkt von 4 auf 3.

Kann eine Gleichung unendlich viele Lösungen haben?

Ja, wenn die Gerade auf einem flachen Stück der Kurve liegt. Dann ist jedes x auf diesem Stück eine Lösung.

Was ist ein Parameter?

In x² = 9 ist die Zahl 9 fest. In x² = a ist der Buchstabe a ein Parameter: eine feste Zahl, die wir noch nicht gewählt haben. Die Unbekannte, die wir berechnen, ist weiterhin x.

Die Antwort ist also nicht eine einzelne Zahl. Die Antwort sagt, wie die Lösungen von a abhängen. Zum Beispiel: "Wenn a < 0, gibt es keine Lösung; wenn a = 0, gibt es eine; wenn a > 0, gibt es zwei".

Die grafische Methode: die Gerade y = a verschieben

Grafische Methode in vier Schritten:

  1. Forme so um, dass die Gleichung f(x) = a lautet (a steht allein auf einer Seite).
  2. Zeichne die Kurve y = f(x) nur einmal. Sie hängt nicht von a ab.
  3. Zeichne die waagrechte Gerade y = a. Wenn sich a ändert, rutscht sie nach oben oder unten.
  4. Zähle für jede Lage die Schnittpunkte. Notiere die Bereiche von a, in denen die Anzahl gleich bleibt, und die besonderen Werte, an denen sie sich ändert.

Beispiel: |x² − 4| = a. Die Kurve hat W-Form mit Tiefpunkten bei (−2, 0), (2, 0) und einem Gipfel bei (0, 4).

Wenn a in der Formel steckt: die Diskriminante

Bei x² − 4x + a = 0 hängt die Anzahl der Lösungen von der Diskriminante D = b² − 4ac = 16 − 4a ab.

Bei "x² + 2ax + 4 > 0 für jedes x" darf es keine Nullstelle geben und die Parabel muss über der Achse liegen: D = 4a² − 16 < 0, also −2 < a < 2.

Du kannst es auch zeichnen: x² − 4x = −a ist die Parabel mit dem tiefsten Punkt −4 und einer Geraden in der Höhe −a.

Ungleichungen und Fallunterscheidung

Bei ax > 2 entscheidet das Vorzeichen von a über die Antwort, also teilen wir in Fälle:

Sag immer, was bei a = 0 und bei den gefundenen besonderen Werten passiert. Eine vollständige Antwort nennt jeden Fall.

Probier es aus: erst vermuten, dann prüfen

Öffne das 3D-Brett mit |x − 1| + |x + 1| = a. Rate, bevor du schiebst, wie viele Lösungen a = 1 hat. Schiebe dann auf a = 1 und lies es ab. Probiere a = 2 und a = 3. Zu Hause: Füll eine Schüssel mit Wasser und schau, wie die Wasseroberfläche die Wand berührt. Eine tiefe Schüssel wird an zwei Stellen berührt; eine Schüssel mit flachem Boden kann auf einer ganzen Linie berührt werden. Das ist dasselbe Bild.

Wichtige Formeln und Definitionen

Gelöste Beispiele

1. Wie viele Lösungen hat x² = a?

Zeichne y = x² und die Gerade y = a. Ist a < 0, liegt die Gerade unter der Kurve: 0 Lösungen. Ist a = 0, berührt sie unten: 1 Lösung. Ist a > 0, schneidet sie zweimal: 2 Lösungen (x = ±√a).

2. Für welche a hat x² − 4x + a = 0 zwei verschiedene Lösungen?

D = (−4)² − 4·1·a = 16 − 4a. Für zwei verschiedene Lösungen braucht man D > 0, also 16 − 4a > 0, also a < 4.

3. Diskutiere |x| = a.

Die Kurve y = |x| ist ein V mit der Spitze bei (0, 0). a < 0: keine. a = 0: eine (x = 0). a > 0: zwei (x = ±a).

4. Wie viele Lösungen hat |x² − 4| = a für a = 2?

x² − 4 = 2 ergibt x² = 6, x = ±√6. x² − 4 = −2 ergibt x² = 2, x = ±√2. Vier verschiedene Lösungen.

5. Finde die Anzahl der Lösungen von x² − 2x = a für jedes a.

x² − 2x = (x − 1)² − 1, eine Parabel mit tiefstem Punkt (1, −1). a < −1: keine. a = −1: eine (x = 1). a > −1: zwei.

6. Löse ax > 2 für alle Werte von a.

a > 0: x > 2/a. a < 0: Teilen durch a dreht das Zeichen um, x < 2/a. a = 0: 0 > 2 ist falsch, also keine Lösung.

7. Für welche a ist x² + 2ax + 4 > 0 für jedes x?

Die Parabel öffnet nach oben. Sie bleibt über der Achse, wenn sie keine reelle Nullstelle hat: D = (2a)² − 4·4 = 4a² − 16 < 0, also a² < 4, also −2 < a < 2.

8. Für welche a hat |x − 1| + |x + 1| = a genau zwei Lösungen?

Die Kurve ist zwischen x = −1 und 1 flach in der Höhe 2 und steigt dann auf beiden Seiten mit Steigung 2. a < 2: keine. a = 2: unendlich viele. a > 2: zwei Lösungen x = ±a/2. Also a > 2.

Häufige Fehler

Übungsquiz

1. In x² = a nennt man den Buchstaben a einen:
2. x² = a hat keine reelle Lösung, wenn:
3. |x| = a hat genau eine Lösung, wenn:
4. x² − 4x + a = 0 hat eine Lösung, wenn a =
5. Bei der grafischen Methode ist die Gerade y = a:

Üben: Beantworte diese selbst

Tippe oder wähle deine Antwort und drücke dann Prüfen. Nutze einen Tipp, wenn du nicht weiterkommst; die ganze Lösung erscheint nach deiner Antwort.

Häufig gestellte Fragen

Was ist ein Parameter in der Mathematik?

Ein Buchstabe, der für eine feste, aber nicht genannte Zahl steht. Wir untersuchen, wie sich die Antwort ändert, wenn sich diese Zahl ändert.

Ist ein Parameter dasselbe wie eine Variable?

Nicht ganz. Wir lösen nach der Variablen x auf. Den Parameter a behandeln wir wie eine gegebene Zahl, und die Antwort wird mit ihm ausgedrückt.

Wann ist die grafische Methode besser als die Diskriminante?

Wenn die Gleichung keine einfache quadratische Gleichung ist, zum Beispiel mit Betrag oder Wurzeln, ist das Bild meist leichter.

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