什么是参数？
在 x² = 9 里，9 是固定的数。在 x² = a 里，字母 a 是参数：它是一个确定的数，只是我们还没选定。我们要解的未知数仍然是 x。
所以答案不是一个数。答案要说明解如何随 a 变化。例如：“如果 a < 0，无解；如果 a = 0，有一个解；如果 a > 0，有两个解。”
图像法：滑动直线 y = a
图像法分四步：
- 把方程整理成 f(x) = a（a 单独放在一边）。
- 画出曲线 y = f(x)，只画一次，它与 a 无关。
- 画出水平直线 y = a。改变 a，直线就上下移动。
- 数一数每个位置上的交点个数。写出交点个数不变的 a 的范围，以及个数发生变化的特殊值。
例：|x² − 4| = a。曲线像 W，两个低点是 (−2, 0)、(2, 0)，中间的峰顶是 (0, 4)。
- a < 0：0 个解
- a = 0：2 个解（x = ±2）
- 0 < a < 4：4 个解
- a = 4：3 个解
- a > 4：2 个解
a 在式子里面时：判别式
对于 x² − 4x + a = 0，根的个数由判别式 D = b² − 4ac = 16 − 4a 决定。
- D > 0，即 a < 4：有两个根。
- D = 0，即 a = 4：有一个根。
- D < 0，即 a > 4：没有实数根。
对于“x² + 2ax + 4 > 0 对所有 x 都成立”，需要没有根，并且抛物线在 x 轴上方：D = 4a² − 16 < 0，所以 −2 < a < 2。
也可以画图：x² − 4x = −a 是最低点为 −4 的抛物线，再加一条高度为 −a 的直线。
不等式与分类讨论
在 ax > 2 中，a 的正负决定答案，所以要分情况讨论：
- a > 0：两边除以 a，不等号方向不变：x > 2/a。
- a < 0：两边除以 a，不等号要反向：x < 2/a。
- a = 0：式子变成 0 > 2，不成立：无解。
一定要说明 a = 0 以及你找到的特殊值时会怎样。完整的答案要列出每一种情况。
动手试试：先猜，再验证
打开 3D 板，选 |x − 1| + |x + 1| = a。滑动之前，先猜一猜 a = 1 时有几个解。然后滑到 a = 1，读出结果。再试 a = 2 和 a = 3。回家后可以在碗里倒水，看水面碰到碗壁的情形：深碗碰到两处；平底的碗可以沿着一整条线碰到。这和图里的情形是一样的。
重点公式和概念
- f(x) = a：解的个数 = y = f(x) 与 y = a 的交点个数
- D = b² − 4ac：D > 0 有两个根，D = 0 有一个根，D < 0 无根
- x² + bx + c > 0 对所有 x 成立 ⇔ D < 0
- ax > c：a > 0 → x > c/a；a < 0 → x < c/a；a = 0 → 检查 0 > c
例题讲解
1. 方程 x² = a 有几个解？
画出 y = x² 和直线 y = a。如果 a < 0，直线在曲线下方：0 个解。如果 a = 0，直线在最低点相切：1 个解。如果 a > 0，直线与曲线相交两次：2 个解（x = ±√a）。
2. a 取何值时，x² − 4x + a = 0 有两个不同的根？
D = (−4)² − 4·1·a = 16 − 4a。有两个不同的根需要 D > 0，所以 16 − 4a > 0，即 a < 4。
3. 讨论 |x| = a。
曲线 y = |x| 是一个 V 形，尖点在 (0, 0)。a < 0：无解。a = 0：一个解（x = 0）。a > 0：两个解（x = ±a）。
4. 当 a = 2 时，|x² − 4| = a 有几个解？
x² − 4 = 2 得 x² = 6，x = ±√6。x² − 4 = −2 得 x² = 2，x = ±√2。共有四个不同的解。
5. 对每个 a，求 x² − 2x = a 的解的个数。
x² − 2x = (x − 1)² − 1，是最低点为 (1, −1) 的抛物线。a < −1：无解。a = −1：一个解（x = 1）。a > −1：两个解。
6. 对 a 的所有取值，解不等式 ax > 2。
a > 0：x > 2/a。a < 0：除以 a 时不等号反向，x < 2/a。a = 0：0 > 2 不成立，所以无解。
7. a 取何值时，x² + 2ax + 4 > 0 对所有 x 都成立？
抛物线开口向上。只要没有实数根，它就一直在 x 轴上方：D = (2a)² − 4·4 = 4a² − 16 < 0，所以 a² < 4，即 −2 < a < 2。
8. a 取何值时，|x − 1| + |x + 1| = a 恰好有两个解？
曲线在 x = −1 到 1 之间是高度为 2 的平线，两侧以斜率 2 上升。a < 2：无解。a = 2：无数个解。a > 2：两个解 x = ±a/2。所以 a > 2。
常见错误
- 只给出一个数作为答案。参数问题的答案是关于 a 的分类结果。
- 忘记特殊值，比如直线与曲线只相切一次时的 a。
- 没有检查 a = 0 和 a 的正负就直接除以 a。
- 把相切的点算成两个。相切只算一个解（重根），不是两个。