Что такое параметр?
В уравнении x² = 9 число 9 фиксировано. В уравнении x² = a буква a — это параметр: одно фиксированное число, которое мы пока не выбрали. Неизвестное, которое мы ищем, по-прежнему x.
Поэтому ответ — не одно число. Ответ говорит, как решения зависят от a. Например: «если a < 0, решений нет; если a = 0, решение одно; если a > 0, решений два».
Графический метод: двигаем прямую y = a
Графический метод в четыре шага:
- Перенеси всё так, чтобы уравнение выглядело как f(x) = a (a один в одной части).
- Один раз нарисуй кривую y = f(x). Она не зависит от a.
- Нарисуй горизонтальную прямую y = a. Меняя a, ты двигаешь её вверх или вниз.
- Для каждого положения посчитай точки встречи. Запиши промежутки a, где число решений не меняется, и особые значения, где оно меняется.
Пример: |x² − 4| = a. Кривая похожа на W: низшие точки (−2, 0) и (2, 0), пик (0, 4).
- a < 0: 0 решений
- a = 0: 2 решения (x = ±2)
- 0 < a < 4: 4 решения
- a = 4: 3 решения
- a > 4: 2 решения
Когда a стоит внутри формулы: дискриминант
Для x² − 4x + a = 0 число корней зависит от дискриминанта D = b² − 4ac = 16 − 4a.
- D > 0, то есть a < 4: два корня.
- D = 0, то есть a = 4: один корень.
- D < 0, то есть a > 4: действительных корней нет.
Чтобы «x² + 2ax + 4 > 0 для любого x», нужно, чтобы корней не было и парабола шла выше оси: D = 4a² − 16 < 0, значит, −2 < a < 2.
Можно и нарисовать: x² − 4x = −a — это парабола с самой низкой точкой −4 и прямая на высоте −a.
Неравенства и случаи
В неравенстве ax > 2 ответ зависит от знака a, поэтому разбиваем на случаи:
- a > 0: делим, знак сохраняем: x > 2/a.
- a < 0: делим, знак меняем: x < 2/a.
- a = 0: получаем 0 > 2, это неверно: решений нет.
Всегда говори, что происходит при a = 0 и при особых значениях, которые ты нашёл. В полном ответе перечислены все случаи.
Попробуй: сначала угадай, потом проверь
Открой 3D-доску с |x − 1| + |x + 1| = a. Прежде чем двигать, угадай, сколько решений при a = 1. Потом подвинь на a = 1 и прочитай ответ. Попробуй a = 2 и a = 3. Дома налей воду в чашу и посмотри, как поверхность воды касается стенки. Глубокая чаша касается в двух местах, а чаша с плоским дном может касаться по целой линии. Картинка та же самая.
Главные формулы и определения
- f(x) = a: решения = точки встречи y = f(x) и y = a
- D = b² − 4ac: D > 0 два корня, D = 0 один корень, D < 0 корней нет
- x² + bx + c > 0 при всех x ⇔ D < 0
- ax > c: a > 0 → x > c/a; a < 0 → x < c/a; a = 0 → проверить 0 > c
Разобранные примеры
1. Сколько решений имеет x² = a?
Нарисуем y = x² и прямую y = a. Если a < 0, прямая под кривой: 0 решений. Если a = 0, она касается внизу: 1 решение. Если a > 0, она пересекает дважды: 2 решения (x = ±√a).
2. При каких a уравнение x² − 4x + a = 0 имеет два разных корня?
D = (−4)² − 4·1·a = 16 − 4a. Для двух разных корней нужно D > 0, то есть 16 − 4a > 0, значит, a < 4.
3. Исследуй |x| = a.
Кривая y = |x| — это галочка V с вершиной в (0, 0). a < 0: решений нет. a = 0: одно (x = 0). a > 0: два (x = ±a).
4. Сколько решений имеет |x² − 4| = a при a = 2?
x² − 4 = 2 даёт x² = 6, x = ±√6. x² − 4 = −2 даёт x² = 2, x = ±√2. Четыре разных решения.
5. Найди число решений x² − 2x = a для каждого a.
x² − 2x = (x − 1)² − 1, парабола с самой низкой точкой (1, −1). a < −1: решений нет. a = −1: одно (x = 1). a > −1: два.
6. Реши ax > 2 при всех значениях a.
a > 0: x > 2/a. a < 0: при делении на a знак меняется, x < 2/a. a = 0: 0 > 2 неверно, решений нет.
7. При каких a выполняется x² + 2ax + 4 > 0 для любого x?
Ветви параболы направлены вверх. Она остаётся над осью, если действительных корней нет: D = (2a)² − 4·4 = 4a² − 16 < 0, значит, a² < 4, то есть −2 < a < 2.
8. При каких a уравнение |x − 1| + |x + 1| = a имеет ровно два решения?
Кривая плоская на высоте 2 между x = −1 и 1, а дальше растёт с наклоном 2 в обе стороны. a < 2: решений нет. a = 2: бесконечно много. a > 2: два решения x = ±a/2. Значит, a > 2.
Частые ошибки
- Давать в ответ одно число. В задаче с параметром ответ — это список случаев для a.
- Забывать особые значения, например то a, при котором прямая касается кривой только один раз.
- Делить на a, не проверив a = 0 и знак a.
- Считать точку касания дважды. Касание — это одно решение (двойной корень), а не два.