Was ist ein Gleichungssystem?
Ein System ist eine Menge von Gleichungen mit denselben Unbekannten. Eine Lösung muss jede Gleichung gleichzeitig wahr machen. Bei zwei Geraden ist die Lösung der Punkt, an dem sich die Geraden schneiden. Zwei Geraden können sich in einem Punkt schneiden (eine Lösung), sich nie treffen, weil sie parallel sind (keine Lösung), oder dieselbe Gerade sein (unendlich viele Lösungen).
Beispiel: x + y = 5 und x − y = 1. Probiere (3, 2): 3 + 2 = 5 und 3 − 2 = 1. Beides stimmt, also ist (3, 2) die Lösung.
Was bedeutet äquivalent?
Zwei Systeme sind äquivalent, wenn sie genau dieselbe Lösungsmenge haben. Keine Lösung zu viel, keine zu wenig. Sie können ganz verschieden aussehen. Zum Beispiel sind {x + y = 5, x − y = 1} und {x = 3, y = 2} äquivalent, denn beide haben nur die Lösung (3, 2).
Wir verwandeln ein schweres System in ein äquivalentes einfaches. Dann gilt die Antwort, die wir finden, auch für das schwere System.
Sichere Schritte (Äquivalenzumformungen)
- Vertauschen von zwei Gleichungen. Die Reihenfolge ist egal.
- Multiplizieren einer Gleichung mit einer Zahl, die nicht null ist. Jeder Punkt der Geraden bleibt auf der Geraden.
- Addieren eines Vielfachen einer Gleichung zu einer anderen. Der alte Schnittpunkt macht beide Gleichungen wahr, also auch die Summe.
Unsichere Schritte: mit 0 multiplizieren (die Gleichung wird zu 0 = 0 und sagt nichts mehr) oder nur eine Seite einer Gleichung ändern. Auch Quadrieren beider Seiten kann falsche Lösungen hinzufügen, deshalb musst du am Ende prüfen.
Lösen mit dem Additionsverfahren
Das Additionsverfahren (Elimination) ist eine Kette sicherer Schritte, die eine Unbekannte entfernt.
- Schreibe das System auf. Beispiel: 2x + 3y = 12 und 4x − y = 10.
- Multipliziere die zweite Gleichung mit 3: 12x − 3y = 30.
- Addiere sie zur ersten: 14x = 42, also x = 3.
- Setze x = 3 in 4x − y = 10 ein: 12 − y = 10, also y = 2.
- Prüfe in beiden ursprünglichen Gleichungen.
Jedes neue System ist äquivalent zum vorherigen, also ist (3, 2) auch die Lösung des ersten.
Probier es aus
Erst vermuten, dann prüfen: Bewege im freien 3D-Spiel den Regler k. Sag vorher, was du mit dem Schnittpunkt erwartest. Finde dann das k, bei dem die blaue Gerade senkrecht wird. Drücke danach den Knopf „mit 0 multiplizieren“ und sieh, warum das kein sicherer Schritt ist.
Wichtige Formeln und Definitionen
- System: alle Gleichungen gleichzeitig wahr
- Äquivalente Systeme: gleiche Lösungsmenge
- Neue Gleichung 2 = (Gleichung 2) + k × (Gleichung 1)
- Nur mit c multiplizieren, wenn c ≠ 0
- Additionsverfahren: Koeffizienten einer Unbekannten zu Gegenzahlen machen, dann addieren
Gelöste Beispiele
1. Löse x + y = 7 und x − y = 1.
Addiere die Gleichungen: 2x = 8, also x = 4. Dann y = 7 − 4 = 3. Probe: 4 + 3 = 7 und 4 − 3 = 1. Lösung (4, 3).
2. Löse 3x + y = 10 und x + y = 4.
Subtrahiere die zweite von der ersten Gleichung: 2x = 6, also x = 3. Dann y = 4 − 3 = 1. Probe: 9 + 1 = 10 und 3 + 1 = 4. Lösung (3, 1).
3. Zeige, dass {x + y = 5, x − y = 1} äquivalent zu {x = 3, x + y = 5} ist.
Addiere die beiden ursprünglichen Gleichungen: 2x = 6, also x = 3. Behalte x + y = 5. Das neue System entstand durch sichere Schritte, und seine Lösung ist x = 3, y = 2. Beide Systeme haben nur (3, 2).
4. Löse 2x + 3y = 12 und 4x − y = 10.
Multipliziere die zweite Gleichung mit 3: 12x − 3y = 30. Addiere zur ersten: 14x = 42, also x = 3. Dann ergibt 4(3) − y = 10 den Wert y = 2. Lösung (3, 2).
5. Ersetze im System x + y = 5, x − y = 1 die Gleichung 2 durch (Gleichung 2) + 2 × (Gleichung 1). Schreibe die neue Gleichung auf und prüfe die alte Lösung.
Neue Gleichung: (x − y) + 2(x + y) = 1 + 10, also 3x + y = 11. Prüfe (3, 2): 9 + 2 = 11. Das stimmt, die Lösung bleibt erhalten.
Häufige Fehler
- Nur eine Seite einer Gleichung mit einer Zahl multiplizieren.
- Eine Gleichung mit 0 multiplizieren. Sie wird zu 0 = 0 und die Information geht verloren.
- Die Gleichungen addieren, aber vergessen, auch die rechten Seiten zu addieren.
- Die Antwort nicht im ursprünglichen System prüfen, besonders nach dem Quadrieren.