Was ist der Betrag?
Setze eine Zahl auf den Zahlenstrahl. Zähle die Schritte bis zur 0. Diese Zahl ist ihr Betrag. Wir schreiben ihn mit zwei Strichen: |x|.
Also ist |5| = 5 und |-5| = 5. Beide sind 5 Schritte von der 0 entfernt. |0| = 0.
In Zeichen: |x| = x, wenn x gleich 0 oder positiv ist, und |x| = -x, wenn x negativ ist. Das "Minus" in -x macht aus einer negativen Zahl eine positive, darum ist |x| nie kleiner als 0.
Abstand zweier Zahlen: |x - a|
Der Abstand zwischen x und a auf dem Zahlenstrahl ist |x - a|. Er ist gleich |a - x|. Beispiel: Der Abstand von 2 zu 9 ist |9 - 2| = 7. Von -4 zu 3 ist er |3 - (-4)| = 7.
Merke: |x| ist nur eine andere Schreibweise für |x - 0|, den Abstand von 0.
|x + a| = b lösen
Lies |x - c| = b so: "x ist b Schritte von c entfernt". Gehe von c aus b Schritte nach rechts und b Schritte nach links. Es gibt zwei Lösungen: x = c + b und x = c - b.
Für |x + 3| = 5: Schreibe es als |x - (-3)| = 5. Dann ist x = -3 + 5 = 2 oder x = -3 - 5 = -8. Probe: |2 + 3| = 5 und |-8 + 3| = 5.
Ist b negativ, gibt es keine Lösung, weil ein Abstand nicht negativ sein kann. Ist b = 0, gibt es genau eine Lösung: x = c.
Intervalle auf dem Zahlenstrahl
Ein Intervall sind alle Zahlen zwischen zwei Enden.
- [a, b] geschlossen: a und b gehören dazu (ausgefüllte Punkte). Es bedeutet a ≤ x ≤ b.
- (a, b) offen: a und b gehören nicht dazu (leere Punkte). Es bedeutet a < x < b.
- [a, b) und (a, b] sind halboffen.
- (a, ∞): alles oberhalb von a. Das Zeichen ∞ heißt "geht ewig weiter". Dahinter steht immer eine runde Klammer.
Verbindung zum Betrag: |x - c| < r bedeutet c - r < x < c + r, also das Intervall (c - r, c + r). Und |x - c| > r bedeutet, dass x außerhalb liegt: x < c - r oder x > c + r.
Probier es aus: Geh den Zahlenstrahl entlang
Zeichne mit Kreide eine Linie auf den Boden und markiere -5 bis 5. Stell dich auf die 0. Mache 4 Schritte nach rechts, geh zurück zur 0 und mache 4 Schritte nach links. Wo bist du? Bei 4 und bei -4. Für beide gilt |x| = 4. Rate jetzt, bevor du schiebst: Wo muss x liegen, damit |x - 2| = 3 gilt? Prüfe es im 3D-Bild.
Wichtige Formeln und Definitionen
- |x| = x if x ≥ 0; |x| = -x if x < 0
- |x - a| = distance between x and a
- |x - c| = b (b > 0) ⇒ x = c + b or x = c - b
- |x - c| < r ⇔ c - r < x < c + r
- |x - c| > r ⇔ x < c - r or x > c + r
- [a, b] includes both ends; (a, b) includes neither
Gelöste Beispiele
1. Bestimme |-7|, |4| und |0|.
|-7| = 7 (7 Schritte von der 0). |4| = 4. |0| = 0.
2. Bestimme den Abstand zwischen -2 und 5.
|5 - (-2)| = |7| = 7.
3. Löse |x| = 6.
x ist 6 Schritte von der 0 entfernt, also x = 6 oder x = -6.
4. Löse |x + 4| = 3.
Schreibe es als |x - (-4)| = 3. x = -4 + 3 = -1 oder x = -4 - 3 = -7. Probe: |-1 + 4| = 3 und |-7 + 4| = 3.
5. Schreibe 2 < x ≤ 9 als Intervall und sage, welche Punkte ausgefüllt sind.
(2, 9]. Der Punkt bei 2 ist leer (2 gehört nicht dazu). Der Punkt bei 9 ist ausgefüllt.
6. Löse |2x - 5| = 7.
2x - 5 = 7 ergibt x = 6. 2x - 5 = -7 ergibt x = -1. Probe: |12 - 5| = 7 und |-2 - 5| = 7.
7. Schreibe |x - 1| < 3 als Intervall.
1 - 3 < x < 1 + 3, also (-2, 4).
8. Löse |x - 2| = |x + 6|.
x hat von 2 und von -6 den gleichen Abstand, liegt also genau in der Mitte: (2 + (-6)) / 2 = -2. Probe: |-4| = 4 und |4| = 4.
Häufige Fehler
- |-5| = -5 schreiben. Der Betrag ist nie negativ: |-5| = 5.
- Bei |x - c| = b nur eine Lösung angeben. Es gibt zwei Stellen, c + b und c - b.
- Eine eckige Klammer neben ∞ setzen. Unendlich ist keine Zahl, darum immer ∞).
- |x + 3| = 5 als x = 3 + 5 lösen. Die Mitte ist -3, nicht 3. Schreibe x + 3 als x - (-3).