절댓값이란?
수직선 위에 수를 하나 놓아 보세요. 그 수에서 0까지 몇 칸인지 세어 보세요. 그 칸 수가 바로 절댓값이에요. 막대 두 개로 |x|라고 써요.
그래서 |5| = 5이고 |-5| = 5예요. 둘 다 0에서 5칸 떨어져 있어요. |0| = 0이에요.
기호로 쓰면 x가 0이거나 양수일 때 |x| = x, x가 음수일 때 |x| = -x예요. -x의 '마이너스'가 음수를 양수로 바꿔 주기 때문에 |x|는 0보다 작아지지 않아요.
두 수 사이의 거리: |x - a|
수직선에서 x와 a 사이의 거리는 |x - a|예요. |a - x|와 같아요. 예를 들어 2에서 9까지의 거리는 |9 - 2| = 7이에요. -4에서 3까지는 |3 - (-4)| = 7이에요.
기억하세요. |x|는 |x - 0|, 즉 0으로부터의 거리일 뿐이에요.
|x + a| = b 풀기
|x - c| = b를 이렇게 읽어 보세요. 'x는 c에서 b칸 떨어져 있다.' c에서 오른쪽으로 b칸, 왼쪽으로 b칸 가면 돼요. 그래서 답이 두 개예요. x = c + b와 x = c - b.
|x + 3| = 5라면 |x - (-3)| = 5로 바꿔 써요. 그러면 x = -3 + 5 = 2 또는 x = -3 - 5 = -8이에요. 확인: |2 + 3| = 5, |-8 + 3| = 5.
b가 음수이면 답이 없어요. 거리는 음수가 될 수 없으니까요. b = 0이면 답은 하나, x = c예요.
수직선 위의 구간
구간은 두 끝 사이에 있는 모든 수예요.
- [a, b] 닫힌구간: a와 b를 포함해요(색칠한 점). a ≤ x ≤ b라는 뜻이에요.
- (a, b) 열린구간: a와 b를 포함하지 않아요(빈 점). a < x < b라는 뜻이에요.
- [a, b)와 (a, b]는 반만 열린 구간이에요.
- (a, ∞): a보다 큰 모든 수. ∞는 '끝없이 계속된다'는 뜻이에요. 항상 둥근 괄호를 써요.
절댓값과의 관계: |x - c| < r는 c - r < x < c + r, 즉 구간 (c - r, c + r)이에요. 그리고 |x - c| > r는 x가 그 구간 바깥에 있다는 뜻이에요. x < c - r 또는 x > c + r.
해 보기: 수직선 걷기
분필로 바닥에 선을 긋고 -5부터 5까지 표시해 보세요. 0에 서세요. 오른쪽으로 4칸 걷고, 다시 0으로 돌아와 왼쪽으로 4칸 걸어 보세요. 어디에 있나요? 4와 -4예요. 둘 다 |x| = 4예요. 이제 슬라이더를 움직이기 전에 먼저 맞혀 보세요. |x - 2| = 3이 되려면 x는 어디에 있어야 할까요? 3D에서 확인해 보세요.
핵심 공식과 정의
- |x| = x if x ≥ 0; |x| = -x if x < 0
- |x - a| = x와 a 사이의 거리
- |x - c| = b (b > 0) ⇒ x = c + b 또는 x = c - b
- |x - c| < r ⇔ c - r < x < c + r
- |x - c| > r ⇔ x < c - r 또는 x > c + r
- [a, b]는 양 끝을 포함하고, (a, b)는 양 끝을 포함하지 않는다
풀이 예제
1. |-7|, |4|, |0|의 값을 구하세요.
|-7| = 7 (0에서 7칸). |4| = 4. |0| = 0.
2. -2와 5 사이의 거리를 구하세요.
|5 - (-2)| = |7| = 7.
3. |x| = 6을 푸세요.
x는 0에서 6칸 떨어져 있으므로 x = 6 또는 x = -6.
4. |x + 4| = 3을 푸세요.
|x - (-4)| = 3으로 바꿔 씁니다. x = -4 + 3 = -1 또는 x = -4 - 3 = -7. 확인: |-1 + 4| = 3, |-7 + 4| = 3.
5. 2 < x ≤ 9를 구간으로 나타내고, 어느 점이 색칠되는지 말하세요.
(2, 9]. 2의 점은 비어 있습니다(2는 포함하지 않음). 9의 점은 색칠됩니다.
6. |2x - 5| = 7을 푸세요.
2x - 5 = 7이면 x = 6. 2x - 5 = -7이면 x = -1. 확인: |12 - 5| = 7, |-2 - 5| = 7.
7. |x - 1| < 3을 구간으로 나타내세요.
1 - 3 < x < 1 + 3이므로 (-2, 4).
8. |x - 2| = |x + 6|을 푸세요.
x는 2와 -6에서 같은 거리에 있으므로 정확히 가운데입니다. (2 + (-6)) / 2 = -2. 확인: |-4| = 4, |4| = 4.
자주 하는 실수
- |-5| = -5라고 쓰는 것. 절댓값은 절대 음수가 아니에요. |-5| = 5.
- |x - c| = b의 답을 하나만 쓰는 것. 답은 c + b와 c - b, 두 군데예요.
- ∞ 옆에 대괄호를 쓰는 것. 무한대는 수가 아니므로 항상 ∞)처럼 둥근 괄호를 써요.
- |x + 3| = 5를 x = 3 + 5로 푸는 것. 중심은 3이 아니라 -3이에요. x + 3을 x - (-3)으로 바꿔 쓰세요.