합성함수: 안과 밖
합성함수 f(g(x))는 먼저 g를 계산하고, 그 결과를 f에 넣는다는 뜻이에요. f(x) = x², g(x) = x − 2라면 f(g(x)) = (x − 2)²이에요. 순서를 바꾸면 g(f(x)) = x² − 2로, 전혀 다른 그래프가 됩니다.
y = f(x)의 그래프에 대한 빠른 규칙은 다음과 같아요.
- f(x − h): 오른쪽으로 h만큼 이동해요(안, 좌우, 부호와 반대).
- f(x) + k: 위로 k만큼 이동해요(밖).
- −f(x): x축에 대해 뒤집어요. f(−x): y축에 대해 뒤집어요.
- a·f(x): 위아래로 늘려요. f(bx): 옆으로 줄여요.
이동 규칙 전체는 따로 레슨이 있어요. 함수의 변환
그래프 위의 절댓값: |f(x)|와 f(|x|)
절댓값 |a|는 부호를 뗀 a의 크기예요. |−3| = 3.
|f(x)|(밖): y = f(x)를 그려요. x축 위나 x축 위에 있는 부분은 그대로 둬요. 아래에 있는 부분은 위로 뒤집어요(x축에 대한 거울). 결과는 절대 0 아래로 내려가지 않아요.
f(|x|)(안): x ≥ 0일 때만 y = f(x)를 그려요. 왼쪽은 버리고 오른쪽의 거울 복사본으로 채워요. 결과는 y축에 대칭이에요(짝함수).
예: y = |x² − 2|는 ±√2에서 0이고, x = 0에서 최댓값 2의 봉우리를 가져요. y = (|x| − 1)²는 ±1에서 0이고, x = 0에서 y = 1이에요.
방정식의 기하학적 상(그림)
x, y의 방정식의 기하학적 상(그래프)은 그 식을 참으로 만드는 모든 점 (x, y)의 모임이에요.
- x² + y² = r²: 중심 (0, 0), 반지름 r인 원. 모든 점이 중심에서 r만큼 떨어져 있어요.
- |x| + |y| = r: 꼭짓점이 (±r, 0), (0, ±r)인 마름모(45° 돌린 정사각형). 넓이는 2r²예요.
- y² = x: 옆으로 누운 포물선. y = √x와 y = −√x를 합친 것이에요.
팁: |x| + |y| = r을 그리려면 제1사분면(x, y ≥ 0)에만 x + y = r을 그리고, 나머지 세 사분면에 거울처럼 복사하세요.
수직선 검사: 어떤 수직선이 그림과 두 번 만나면 x 하나에 y가 둘이라서 함수의 그래프가 아니에요. 원과 y² = x는 탈락이고, y = x², y = |x|는 통과예요.
스케치 계획
- 정의역(허용되는 x)을 찾아요.
- 절편(축과 만나는 곳)을 표시해요.
- 대칭을 확인해요(짝함수는 y축 대칭).
- 몇 개의 주요 점을 찍고 부드럽게 이어요.
그래프로 해의 개수도 셀 수 있어요. y = f(x)와 y = g(x)가 만나는 횟수가 f(x) = g(x)의 해의 개수예요.
해 보기: 먼저 예측하고 확인하기
3D 보드에서 y = (x − h)²를 고르세요. h = 3일 때 가장 낮은 점이 어디로 갈지 예상한 다음, h를 3까지 밀어 보세요. |x| + |y| = r을 고르고 r = 3일 때의 넓이를 맞혀 보세요(정답 18). 집에서는 종이를 반으로 접고 한쪽에 하트의 반쪽을 그린 다음, 선을 따라 오려서 펼쳐 보세요. 접힌 선이 y축이고, 방금 f(|x|)를 만든 거예요.
핵심 공식과 정의
- f(x − h): 오른쪽으로 h 이동; f(x) + k: 위로 k 이동
- |f(x)|: x축 아래 부분을 위로 뒤집기
- f(|x|): x ≥ 0 부분을 x < 0에 거울 복사
- x² + y² = r²: 원, 중심 (0, 0), 반지름 r
- |x| + |y| = r: 마름모, 넓이 2r²
- 수직선 검사: x 하나에 y가 하나여야 한다
풀이 예제
1. f(x) = x², g(x) = x − 2일 때 f(g(x))와 g(f(x))를 구하세요.
f(g(x)) = (x − 2)² : 포물선 x²을 오른쪽으로 2 이동한 것, 가장 낮은 점 (2, 0). g(f(x)) = x² − 2 : 포물선을 아래로 2 이동한 것, 가장 낮은 점 (0, −2). 둘은 서로 달라요.
2. y = |x² − 2|를 스케치하세요. 영점과 y절편을 구하세요.
먼저 x² − 2를 그려요(가장 낮은 점 (0, −2), 영점 ±√2 ≈ ±1.41). 영점 사이에 움푹 들어간 부분을 위로 뒤집어요. 점 (0, −2)는 (0, 2)가 돼요. 영점은 ±√2, y절편은 2.
3. y = (|x| − 1)²를 스케치하세요.
x ≥ 0에서는 (x − 1)²: 가장 낮은 점 (1, 0), x = 0에서 값은 1. 이것을 왼쪽에 거울처럼 복사해요. 영점은 x = ±1, y절편은 1, (0, 1)에 알파벳 W처럼 작은 언덕이 생겨요.
4. |x| + |y| = 2를 그리고 넓이를 구하세요.
꼭짓점은 (2, 0), (0, 2), (−2, 0), (0, −2). 대각선의 길이가 4인 정사각형이에요. 넓이 = ½ × 4 × 4 = 8 (2r² = 2 × 4 = 8도 같아요).
5. 원 x² + y² = 9 위에서 x = 2일 때 y를 구하세요.
4 + y² = 9, 그러므로 y² = 5, y = ±√5 ≈ ±2.24. 점이 두 개: 위쪽 반원에 하나, 아래쪽 반원에 하나.
6. y² = x의 그래프는 함수 y = f(x)의 그래프인가요?
아니요. 수직선 x = 4가 y = 2와 y = −2에서 만나요. x 하나에 y가 둘이에요. 이것은 y = √x(위)와 y = −√x(아래), 두 함수 그래프를 합친 거예요.
7. (x − 2)² = |x|의 해는 몇 개인가요?
y = (x − 2)²와 y = |x|를 그려요. x ≥ 0이면 x² − 4x + 4 = x에서 x² − 5x + 4 = 0, 그래서 x = 1 또는 4. x < 0이면 x² − 3x + 4 = 0의 D = 9 − 16 < 0이라 해가 없어요. 그래서 해는 2개. 그래프에서도 오른쪽에서 두 점이 만나요.
8. f(x) = √x, g(x) = x² − 4일 때 f(g(x))의 정의역을 구하세요.
f(g(x)) = √(x² − 4). x² − 4 ≥ 0이어야 하므로 x ≤ −2 또는 x ≥ 2. 그래프는 떨어진 두 가지예요. 하나는 (2, 0)에서 시작해 오른쪽으로, 다른 하나는 (−2, 0)에서 시작해 왼쪽으로 가요.
자주 하는 실수
- (x − 2)²를 왼쪽으로 옮기는 것. 안의 빼기 부호는 그래프를 오른쪽으로 옮겨요.
- f(g(x))와 g(f(x))를 헷갈리는 것. 순서가 중요해요. 안쪽 함수를 먼저 계산해요.
- |f(x)|와 f(|x|)가 같다고 생각하는 것. 하나는 아래를 위로 뒤집고, 다른 하나는 오른쪽을 거울처럼 복사해요.
- 모든 곡선을 함수의 그래프라고 부르는 것. 원은 수직선 검사를 통과하지 못해요.