Fonctions composées : l'intérieur et l'extérieur
Une fonction composée f(g(x)) signifie : on applique d'abord g, puis on donne le résultat à f. Si f(x) = x² et g(x) = x − 2, alors f(g(x)) = (x − 2)². Dans l'autre ordre, on obtient g(f(x)) = x² − 2, qui est une courbe différente.
Règles rapides pour le graphe de y = f(x) :
- f(x − h) : glisse vers la droite de h (à l'intérieur, déplacement horizontal, contraire du signe).
- f(x) + k : glisse vers le haut de k (à l'extérieur).
- −f(x) : symétrie par rapport à l'axe des x. f(−x) : symétrie par rapport à l'axe des y.
- a·f(x) : étirement vertical. f(bx) : compression horizontale.
L'ensemble des transformations a sa propre leçon : Transformations de fonctions.
Valeur absolue sur un graphe : |f(x)| et f(|x|)
La valeur absolue |a| est la taille de a sans son signe : |−3| = 3.
|f(x)| (à l'extérieur) : trace y = f(x). Garde les parties situées sur l'axe des x ou au-dessus. Retourne vers le haut les parties situées en dessous (miroir par rapport à l'axe des x). Le résultat ne descend jamais sous zéro.
f(|x|) (à l'intérieur) : trace y = f(x) seulement pour x ≥ 0. Jette le côté gauche et remplace-le par une copie en miroir du côté droit. Le résultat est symétrique par rapport à l'axe des y (une fonction paire).
Exemple : y = |x² − 2| a des zéros en ±√2 et une valeur maximale locale 2 en x = 0. y = (|x| − 1)² a des zéros en ±1 et vaut 1 en x = 0.
Image géométrique d'une équation
L'image géométrique (le graphe) d'une équation en x et y est l'ensemble de tous les points (x, y) qui la rendent vraie.
- x² + y² = r² : un cercle de centre (0, 0) et de rayon r. Chaque point est à la distance r du centre.
- |x| + |y| = r : un losange (un carré tourné de 45°) de sommets (±r, 0) et (0, ±r). Son aire est 2r².
- y² = x : une parabole couchée sur le côté. C'est la réunion de y = √x et y = −√x.
Astuce : pour dessiner |x| + |y| = r, dessine x + y = r dans le premier quart seulement (x, y ≥ 0), puis fais-en le miroir dans les trois autres quarts.
Test de la verticale : si une droite verticale coupe la figure deux fois, un x a deux valeurs de y, donc ce n'est pas le graphe d'une fonction. Le cercle et y² = x échouent ; y = x² et y = |x| réussissent.
Un plan pour esquisser une courbe
- Trouve le domaine (quels x sont permis).
- Marque les intersections avec les axes (là où la courbe coupe les axes).
- Vérifie la symétrie (paire : miroir par rapport à l'axe des y).
- Place quelques points clés et relie-les en douceur.
Les graphes servent aussi à compter les solutions : le nombre de fois où y = f(x) rencontre y = g(x) est le nombre de solutions de f(x) = g(x).
À toi : prédis, puis vérifie
Dans le tableau 3D, choisis y = (x − h)². Devine où va le point le plus bas quand h = 3, puis fais glisser h jusqu'à 3. Choisis |x| + |y| = r et devine l'aire pour r = 3 (réponse 18). À la maison : plie une feuille en deux, dessine la moitié d'un cœur d'un côté, découpe le long du trait et ouvre. Le pli est ton axe des y et tu viens de faire f(|x|).
Formules et définitions clés
- f(x − h) : translation de h vers la droite ; f(x) + k : translation de k vers le haut
- |f(x)| : on relève la partie située sous l'axe des x
- f(|x|) : on garde x ≥ 0, on la copie en miroir pour x < 0
- x² + y² = r² : cercle, centre (0, 0), rayon r
- |x| + |y| = r : losange, aire 2r²
- Test de la verticale : un x doit donner un seul y
Exemples résolus
1. f(x) = x², g(x) = x − 2. Trouve f(g(x)) et g(f(x)).
f(g(x)) = (x − 2)² : la parabole x² glissée de 2 vers la droite, point le plus bas (2, 0). g(f(x)) = x² − 2 : la parabole glissée de 2 vers le bas, point le plus bas (0, −2). Elles sont différentes.
2. Esquisse y = |x² − 2|. Donne les zéros et l'ordonnée à l'origine.
Trace d'abord x² − 2 (point le plus bas (0, −2), zéros ±√2 ≈ ±1.41). Retourne vers le haut le creux situé entre les zéros : le point (0, −2) devient (0, 2). Zéros ±√2, ordonnée à l'origine 2.
3. Esquisse y = (|x| − 1)².
Pour x ≥ 0, c'est (x − 1)² : point le plus bas (1, 0), et en x = 0 la valeur est 1. Fais le miroir à gauche : zéros en x = ±1, ordonnée à l'origine 1, une petite bosse en (0, 1) comme la lettre W.
4. Dessine |x| + |y| = 2 et trouve son aire.
Sommets en (2, 0), (0, 2), (−2, 0), (0, −2). C'est un carré dont les diagonales mesurent 4. Aire = ½ × 4 × 4 = 8 (aussi 2r² = 2 × 4 = 8).
5. Sur le cercle x² + y² = 9, trouve y quand x = 2.
4 + y² = 9, donc y² = 5, y = ±√5 ≈ ±2.24. Deux points : un sur la moitié haute, un sur la moitié basse.
6. Le graphe de y² = x est-il le graphe d'une fonction y = f(x) ?
Non. La droite verticale x = 4 le coupe en y = 2 et y = −2 : un x, deux y. Ce sont deux graphes de fonctions réunis : y = √x (haut) et y = −√x (bas).
7. Combien de solutions a (x − 2)² = |x| ?
Trace y = (x − 2)² et y = |x|. Pour x ≥ 0 : x² − 4x + 4 = x donne x² − 5x + 4 = 0, donc x = 1 ou 4. Pour x < 0 : x² − 3x + 4 = 0 a D = 9 − 16 < 0, aucune solution. Donc 2 solutions. Le graphe le montre aussi : deux points de rencontre à droite.
8. f(x) = √x et g(x) = x² − 4. Trouve le domaine de f(g(x)).
f(g(x)) = √(x² − 4). Il faut x² − 4 ≥ 0, donc x ≤ −2 ou x ≥ 2. Le graphe a deux branches séparées : l'une commence en (2, 0) et va vers la droite, l'autre commence en (−2, 0) et va vers la gauche.
Erreurs fréquentes
- Déplacer (x − 2)² vers la gauche. Le signe moins à l'intérieur déplace la courbe vers la droite.
- Confondre f(g(x)) et g(f(x)). L'ordre compte : on fait d'abord la fonction de l'intérieur.
- Croire que |f(x)| et f(|x|) sont la même chose. L'une relève le bas ; l'autre fait le miroir du côté droit.
- Appeler toute courbe un graphe de fonction. Un cercle échoue au test de la verticale.