연립방정식이란?
연립방정식은 같은 미지수를 가진 방정식들의 묶음입니다. 해는 모든 방정식을 동시에 참으로 만들어야 합니다. 직선 두 개라면 해는 두 직선이 만나는 점입니다. 두 직선은 한 점에서 만날 수도 있고(해가 하나), 평행해서 만나지 않을 수도 있고(해가 없음), 같은 직선일 수도 있습니다(해가 무수히 많음).
예: x + y = 5, x − y = 1. (3, 2)를 넣어 봅시다. 3 + 2 = 5, 3 − 2 = 1. 둘 다 참이므로 (3, 2)가 해입니다.
동치란 무슨 뜻일까?
두 연립방정식의 해 집합이 정확히 같으면 동치입니다. 하나라도 더 있거나 빠지면 안 됩니다. 겉모습은 아주 달라도 됩니다. 예를 들어 {x + y = 5, x − y = 1}과 {x = 3, y = 2}는 둘 다 해가 (3, 2) 하나뿐이므로 동치입니다.
어려운 연립방정식을 동치인 쉬운 연립방정식으로 바꾸면, 거기서 찾은 답이 어려운 쪽에도 그대로 맞습니다.
안전한 변형 (동치 변형)
- 두 방정식의 순서를 바꿉니다. 순서는 중요하지 않습니다.
- 한 방정식에 0이 아닌 수를 곱합니다. 직선 위의 점은 모두 그 직선 위에 남습니다.
- 한 방정식에 다른 방정식의 배수를 더합니다. 원래 교점은 두 식을 모두 참으로 만들므로 합도 참으로 만듭니다.
안전하지 않은 변형: 0을 곱하기(식이 0 = 0이 되어 아무 말도 하지 않음), 식의 한쪽만 바꾸기. 양변을 제곱하면 거짓 답이 생길 수도 있으니 마지막에 꼭 확인해야 합니다.
가감법으로 풀기
가감법(소거법)은 안전한 변형을 이어서 미지수 하나를 없애는 방법입니다.
- 연립방정식을 씁니다. 예: 2x + 3y = 12, 4x − y = 10.
- 두 번째 식에 3을 곱합니다: 12x − 3y = 30.
- 첫 번째 식과 더합니다: 14x = 42, 그래서 x = 3.
- x = 3을 4x − y = 10에 넣습니다: 12 − y = 10, 그래서 y = 2.
- 처음 두 식에 모두 넣어 확인합니다.
새로 만든 연립방정식은 매번 바로 앞의 것과 동치이므로, (3, 2)는 처음 연립방정식의 답이기도 합니다.
직접 해 보기
먼저 예상하고, 그다음 확인하세요. 3D 자유 실험에서 슬라이더 k를 움직여 보세요. 움직이기 전에 교점에 무슨 일이 생길지 먼저 말해 봅니다. 그다음 파란 직선이 수직이 되는 k를 찾아보세요. 이어서 0 곱하기 버튼을 눌러 왜 안전하지 않은 변형인지 확인하세요.
핵심 공식과 정의
- 연립방정식: 모든 방정식이 동시에 참
- 동치인 연립방정식: 해 집합이 같음
- 새 식 2 = (식 2) + k × (식 1)
- c ≠ 0일 때만 c를 곱하기
- 가감법: 한 미지수의 계수를 서로 반대로 만든 뒤 더하기
풀이 예제
1. x + y = 7, x − y = 1을 푸세요.
두 식을 더하면 2x = 8, 그래서 x = 4입니다. 그러면 y = 7 − 4 = 3. 확인: 4 + 3 = 7, 4 − 3 = 1. 해는 (4, 3).
2. 3x + y = 10, x + y = 4를 푸세요.
첫 번째 식에서 두 번째 식을 빼면 2x = 6, 그래서 x = 3입니다. 그러면 y = 4 − 3 = 1. 확인: 9 + 1 = 10, 3 + 1 = 4. 해는 (3, 1).
3. {x + y = 5, x − y = 1}이 {x = 3, x + y = 5}와 동치임을 보이세요.
처음 두 식을 더하면 2x = 6, 그래서 x = 3입니다. x + y = 5는 그대로 둡니다. 새 연립방정식은 안전한 변형으로 만들었고, 해는 x = 3, y = 2입니다. 두 연립방정식 모두 해는 (3, 2) 하나뿐입니다.
4. 2x + 3y = 12, 4x − y = 10을 푸세요.
두 번째 식에 3을 곱하면 12x − 3y = 30. 첫 번째 식과 더하면 14x = 42, 그래서 x = 3. 그러면 4(3) − y = 10에서 y = 2. 해는 (3, 2).
5. x + y = 5, x − y = 1에서 식 2를 (식 2) + 2 × (식 1)로 바꾸세요. 새 식을 쓰고 원래 해를 확인하세요.
새 식: (x − y) + 2(x + y) = 1 + 10, 즉 3x + y = 11. (3, 2)를 확인: 9 + 2 = 11. 참이므로 해는 그대로 살아 있습니다.
자주 하는 실수
- 식의 한쪽에만 수를 곱하기.
- 식에 0을 곱하기. 0 = 0이 되어 정보가 사라집니다.
- 두 식을 더하면서 우변끼리 더하는 것을 잊기.
- 특히 제곱을 한 뒤에, 처음 연립방정식에 넣어 답을 확인하지 않기.