Wat is een stelsel van vergelijkingen?
Een stelsel is een verzameling vergelijkingen met dezelfde onbekenden. Een oplossing moet elke vergelijking tegelijk waar maken. Bij twee lijnen is de oplossing het punt waar de lijnen elkaar snijden. Twee lijnen kunnen elkaar in één punt snijden (één oplossing), elkaar nooit raken omdat ze evenwijdig zijn (geen oplossing), of dezelfde lijn zijn (oneindig veel oplossingen).
Voorbeeld: x + y = 5 en x − y = 1. Probeer (3, 2): 3 + 2 = 5 en 3 − 2 = 1. Beide kloppen, dus (3, 2) is de oplossing.
Wat betekent gelijkwaardig?
Twee stelsels zijn gelijkwaardig als ze precies dezelfde verzameling oplossingen hebben. Niet één extra, niet één te weinig. Ze kunnen er heel anders uitzien. Bijvoorbeeld {x + y = 5, x − y = 1} en {x = 3, y = 2} zijn gelijkwaardig, want beide hebben alleen de oplossing (3, 2).
We veranderen een moeilijk stelsel in een gelijkwaardig makkelijk stelsel, zodat het antwoord dat we vinden ook klopt voor het moeilijke stelsel.
Veilige stappen (gelijkwaardige omvormingen)
- Wissel twee vergelijkingen om. De volgorde maakt niet uit.
- Vermenigvuldig één vergelijking met een getal dat niet nul is. Elk punt op de lijn blijft op de lijn.
- Tel een veelvoud van de ene vergelijking bij een andere op. Het oude snijpunt maakt beide vergelijkingen waar, dus ook de som.
Onveilige stappen: vermenigvuldigen met 0 (de vergelijking wordt 0 = 0 en zegt niets meer) of maar één kant van een vergelijking veranderen. Beide kanten kwadrateren kan ook valse antwoorden toevoegen, dus controleer altijd aan het eind.
Oplossen met eliminatie
Eliminatie is een reeks veilige stappen die één onbekende laat verdwijnen.
- Schrijf het stelsel op. Voorbeeld: 2x + 3y = 12 en 4x − y = 10.
- Vermenigvuldig de tweede vergelijking met 3: 12x − 3y = 30.
- Tel hem op bij de eerste: 14x = 42, dus x = 3.
- Vul x = 3 in bij 4x − y = 10: 12 − y = 10, dus y = 2.
- Controleer in beide oorspronkelijke vergelijkingen.
Elk nieuw stelsel is gelijkwaardig aan het vorige, dus (3, 2) is ook het antwoord op het eerste stelsel.
Probeer het zelf
Voorspel en controleer: beweeg in de 3D-vrije oefening de schuif k. Zeg eerst wat je denkt dat er met het snijpunt gebeurt voordat je schuift. Zoek dan de k waarvoor de blauwe lijn verticaal wordt. Druk daarna op de knop vermenigvuldigen met 0 en zie waarom dat geen veilige stap is.
Belangrijke formules en begrippen
- Stelsel: alle vergelijkingen tegelijk waar
- Gelijkwaardige stelsels: dezelfde verzameling oplossingen
- Nieuwe vergelijking 2 = (vergelijking 2) + k × (vergelijking 1)
- Vermenigvuldig met c alleen als c ≠ 0
- Eliminatie: maak de coëfficiënten van één onbekende tegengesteld en tel dan op
Uitgewerkte voorbeelden
1. Los op: x + y = 7 en x − y = 1.
Tel de vergelijkingen op: 2x = 8, dus x = 4. Dan is y = 7 − 4 = 3. Controle: 4 + 3 = 7 en 4 − 3 = 1. Oplossing (4, 3).
2. Los op: 3x + y = 10 en x + y = 4.
Trek de tweede van de eerste af: 2x = 6, dus x = 3. Dan is y = 4 − 3 = 1. Controle: 9 + 1 = 10 en 3 + 1 = 4. Oplossing (3, 1).
3. Laat zien dat {x + y = 5, x − y = 1} gelijkwaardig is met {x = 3, x + y = 5}.
Tel de twee oorspronkelijke vergelijkingen op: 2x = 6, dus x = 3. Houd x + y = 5. Het nieuwe stelsel komt uit veilige stappen en de oplossing is x = 3, y = 2. Beide stelsels hebben alleen (3, 2).
4. Los op: 2x + 3y = 12 en 4x − y = 10.
Vermenigvuldig de tweede vergelijking met 3: 12x − 3y = 30. Tel op bij de eerste: 14x = 42, dus x = 3. Dan geeft 4(3) − y = 10 dat y = 2. Oplossing (3, 2).
5. Vervang in het stelsel x + y = 5, x − y = 1 vergelijking 2 door (vergelijking 2) + 2 × (vergelijking 1). Schrijf de nieuwe vergelijking op en controleer de oude oplossing.
Nieuwe vergelijking: (x − y) + 2(x + y) = 1 + 10, dus 3x + y = 11. Controle (3, 2): 9 + 2 = 11. Waar, dus de oplossing blijft behouden.
Veelgemaakte fouten
- Maar één kant van een vergelijking met een getal vermenigvuldigen.
- Een vergelijking met 0 vermenigvuldigen. Hij wordt 0 = 0 en de informatie is weg.
- De vergelijkingen optellen maar vergeten de rechterleden ook op te tellen.
- Het antwoord niet controleren in het oorspronkelijke stelsel, zeker na kwadrateren.