文章題とは？
文章題とは、数が出てくる短いお話で、1つ以上の数が隠れているものです。その数を見つけるのが私たちの仕事です。
算数では、数を次々に試して答えを探せます。代数のほうが速くて確実です。隠れた数に文字（たとえばx）をつけて、ふつうの数のように計算します。この文字を未知数または変数といいます。
上の3Dてんびんを見てください。ミアのえんぴつは、x個の青いブロックの山です。左の皿にはえんぴつ全部、右の皿には13が乗っています。皿がつり合えば、等式は正しいということです。
代数の解き方：4つのステップ
- 未知数に名前をつける。何を表すかをはっきり書きます。例：x = ミアのえんぴつの本数。単位も忘れずに。
- 式にする。お話を数学のことばで言い直します。〜より多いは +、〜より少ないは −、〜倍や2倍は ×、〜はや合計はたいてい = になります。
- 解く。両側に同じ計算をして、xだけにします。
- 確かめる。答えを式だけでなくお話に入れてみます。そのあと、単位をつけて文で答えを書きます。
ていねいに訳しましょう。xより5多いは x + 5 ですが、xより5少ないは x − 5、5より x 少ないは 5 − x です。
文章題のおもな種類
数と年齢の問題
連続する2つの数は x と x + 1。連続する3つの偶数は x、x + 2、x + 4。年齢の問題では、n年後にはみんなn歳ふえることを思い出しましょう。
速さの問題
距離 = 速さ × 時間。2人が向かい合って進むときは、速さを足します。川では、船は下りで（船の速さ + 川の速さ）、上りで（船の速さ − 川の速さ）で進みます。
仕事の問題
水道の蛇口が6時間でタンクを満たすなら、1時間では全体の1/6が入ります。1時間にできる分を足して、全体にかかる時間を求めます。
割合と混ぜ合わせの問題
一部は全体の何パーセントか：一部 = (p/100) × 全体。混ぜる前の純粋な量を足して式を作ります。
図形の問題
面積 = 縦 × 横、周の長さ = 2(縦 + 横) を使います。お話に、一方の辺ともう一方の辺の関係が書いてあることが多いです。
未知数が2つの問題と二次方程式
お話に隠れた数が2つあることがあります。たとえばペンの値段とノートの値段です。そのときは文字を2つ使って、式を2つ立てます。足し算、引き算、代入のどれかで解きます（連立一次方程式）。
式にx²が出てくることもあります。たとえば、長方形の縦が (w + 3)、面積が40なら、w(w + 3) = 40 となり、w² + 3w − 40 = 0 です。解は2つ出ますが、お話に合うのは1つだけのことがあります。長さはマイナスにならないので、その解は捨てます。どの解も、必ずお話で試しましょう。
やってみよう：家でてんびん
定規とえんぴつでシーソーを作り、小さなカップを2つと、同じ大きさのコインか豆を20個用意します。カップに豆を入れて、布で隠します。その数がxです。友だちに、同じカップを反対側にのせてもらい、片側に豆を3つ足してもらいます。予想してみましょう。もう一方が13のときにシーソーが水平なら、カップの中の豆は何個でしょう。布を取って確かめます。使った式も書いてみましょう。
重要な公式と用語
- ステップ：名前をつける → 式にする → 解く → 確かめる
- 連続する数：x、x + 1、x + 2
- 距離 = 速さ × 時間
- 向かい合って進むとき：(Aの速さ + Bの速さ) × 時間 = 距離
- 川：下り = 船 + 川、上り = 船 − 川
- 仕事：1時間あたりの量を足す。いっしょにやる時間 = 1 ÷ (1/a + 1/b)
- 長方形：面積 = 縦 × 横、周の長さ = 2(縦 + 横)
例題
1. 連続する2つの数の和は41です。その2つの数を求めなさい。
小さいほうの数をxとします。次の数は x + 1。式：x + (x + 1) = 41、よって 2x + 1 = 41、2x = 40、x = 20。答えは20と21。確かめ：20 + 21 = 41。
2. 父の年齢は息子の4倍です。5年後には2人の年齢の和が55になります。今の2人の年齢を求めなさい。
息子をx歳、父を4x歳とします。5年後：(x + 5) + (4x + 5) = 55、よって 5x + 10 = 55、5x = 45、x = 9。息子9歳、父36歳。確かめ：5年後は 14 + 41 = 55。
3. 2つの町は180km離れています。同時に各町から車が出て、向かい合って時速50kmと時速40kmで走ります。いつ出会いますか。
時間をt時間とします。距離：50t + 40t = 180、よって 90t = 180、t = 2。2時間後に出会います。確かめ：100 km + 80 km = 180 km。
4. ある蛇口はタンクを6時間で満たします。別の蛇口は3時間で満たします。2つ同時に使うと何時間かかりますか。
1時間でタンクの 1/6 + 1/3 = 1/6 + 2/6 = 3/6 = 1/2 が満たされます。だから、タンク全部では2時間かかります。
5. ペン3本とノート2冊で70ルピー（Rs）です。ペン2本とノート3冊で80ルピーです。ペン1本とノート1冊の値段を求めなさい。
ペン1本をp、ノート1冊をnとします。3p + 2n = 70 と 2p + 3n = 80。1つ目から2つ目を引くと p − n = −10。2つを足すと 5p + 5n = 150、よって p + n = 30。n = p + 10 なので 2p + 10 = 30、p = 10、n = 20。ペンは Rs 10、ノートは Rs 20。確かめ：30 + 40 = 70、20 + 60 = 80。
6. 長方形の縦は横より3m長く、面積は40 m²です。2辺の長さを求めなさい。
横をw mとします。縦は w + 3。面積：w(w + 3) = 40、よって w² + 3w − 40 = 0。因数分解：(w + 8)(w − 5) = 0、w = −8 または w = 5。横の長さはマイナスにならないので、w = 5 m、縦は8 m。確かめ：5 × 8 = 40。
7. 船が36km川を下り、36km川を上って戻るのに、合わせて9時間かかります。川の流れは時速3kmです。静かな水での船の速さを求めなさい。
船の速さをv km/hとします。時間 = 距離 ÷ 速さ なので、36/(v + 3) + 36/(v − 3) = 9。両辺に (v + 3)(v − 3) をかけます：36(v − 3) + 36(v + 3) = 9(v² − 9)、よって 72v = 9v² − 81、v² − 8v − 9 = 0、(v − 9)(v + 1) = 0。v = 9（速さはマイナスにならない）。確かめ：36/12 + 36/6 = 3 + 6 = 9時間。
よくある間違い
- xが何を表すかを書かずに式を書き始める。必ず「x = …」と単位つきで書きましょう。
- 「〜より少ない」を取りちがえる。xより5少ないは x − 5 であって、5 − x ではありません。
- 式の中だけで確かめる。式を間違えて作っていても、式では合ってしまいます。お話の中で確かめましょう。
- お話に合わない答えをそのまま使う。たとえば、マイナスの長さや、2.5人のような人数です。