이차삼항식이란?
삼항식은 항이 세 개인 식이에요. 이차는 가장 높은 차수가 x²라는 뜻이에요. 그래서 x² + 5x + 6은 이차삼항식이에요.
일반 꼴은 ax² + bx + c예요. a는 x² 앞의 수, b는 x 앞의 수, c는 혼자 있는 수예요.
인수분해는 식을 더 간단한 괄호들의 곱으로 쓰는 거예요. 전개의 반대예요.
대수 타일로 보기
큰 정사각형 타일의 넓이는 x², 막대는 x, 작은 정사각형은 1이에요. x² + 5x + 6이면 큰 정사각형 1개, 막대 5개, 작은 정사각형 6개를 가져와요.
이것들을 붙여 직사각형을 만들어요. 가로는 x + 3, 세로는 x + 2예요. 직사각형의 넓이는 가로 곱하기 세로이므로
x² + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)
타일로 직사각형을 만들 수 없다면, 그 삼항식은 정수로는 인수분해되지 않아요.
x² + bx + c 인수분해하기
(x + m)(x + n)을 전개하면 x² + (m + n)x + mn이 나와요. 그래서 m × n = c이고 m + n = b인 두 수 m, n을 찾아야 해요.
- 곱해서 c가 되는 수의 쌍을 모두 적어요.
- 더해서 b가 되는 쌍을 골라요.
- (x + m)(x + n)으로 써요.
- 전개해서 확인해요.
예: x² + 7x + 12. 12의 쌍은 1과 12, 2와 6, 3과 4예요. 3 + 4 = 7인 것은 하나뿐이에요. 그래서 (x + 3)(x + 4).
부호
| c | b | 두 수 | 예 |
|---|---|---|---|
| + | + | 둘 다 + | x² + 7x + 12 = (x + 3)(x + 4) |
| + | − | 둘 다 − | x² − 7x + 12 = (x − 3)(x − 4) |
| − | + | 하나는 +, 하나는 −; 절댓값이 큰 쪽이 + | x² + 2x − 15 = (x + 5)(x − 3) |
| − | − | 하나는 +, 하나는 −; 절댓값이 큰 쪽이 − | x² − 2x − 15 = (x − 5)(x + 3) |
c가 양수이면 두 수의 부호가 같고, c가 음수이면 부호가 달라요.
ax² + bx + c 인수분해하기 (가운뎃항 쪼개기)
a가 1이 아니면 a와 c를 곱해요. 곱해서 a × c, 더해서 b가 되는 두 수를 찾아요. 그 두 수로 가운뎃항을 쪼개요. 그다음 묶어요.
예: 2x² + 7x + 3. a × c = 6이에요. 6과 1은 곱이 6이고 합이 7이에요.
2x² + 6x + x + 3 = 2x(x + 3) + 1(x + 3) = (x + 3)(2x + 1).
타일도 같아요. 큰 정사각형 2개, 막대 7개, 작은 정사각형 3개로 변이 x + 3과 2x + 1인 직사각형이 만들어져요.
특별한 삼항식
완전제곱식: x² + 2mx + m² = (x + m)², x² − 2mx + m² = (x − m)². 예: x² + 10x + 25 = (x + 5)². 타일로 정사각형이 만들어져요.
제곱의 차: x² − m² = (x − m)(x + m). 가운뎃항이 없어요. +m과 −m이 서로 없어지기 때문이에요.
항상 확인해요: 괄호를 전개해 보세요. 처음 식으로 돌아와야 해요.
직접 해 보기: 실습
3D에서 a = 1로 두고 p와 q를 움직여 보세요. 보기 전에 삼항식이 무엇일지 먼저 예상해 보세요. 그다음 화면에서 읽어 보세요. 집에서는 종이로 x²에 해당하는 정사각형을 자르고, 두꺼운 종이로 막대와 작은 정사각형을 만들어요. x² + 4x + 3을 직사각형으로 만들어 두 변을 읽어 보세요.
핵심 공식과 정의
- (x + m)(x + n) = x² + (m + n)x + mn
- x² + bx + c: m × n = c, m + n = b인 m, n을 찾는다
- ax² + bx + c: m × n = a × c, m + n = b인 m, n을 찾고, 쪼갠 뒤 묶는다
- x² ± 2mx + m² = (x ± m)²
- x² − m² = (x − m)(x + m)
풀이 예제
1. x² + 7x + 12를 인수분해하세요.
곱해서 12, 더해서 7이 되는 두 수가 필요해요. 3과 4예요. 그래서 x² + 7x + 12 = (x + 3)(x + 4).
2. x² − 8x + 15를 인수분해하세요.
c는 양수이고 b는 음수이므로 두 수는 모두 음수예요. 곱이 15, 합이 −8인 수는 −3과 −5예요. 그래서 (x − 3)(x − 5).
3. x² + 3x − 10을 인수분해하세요.
c가 음수이므로 한 수는 +, 한 수는 −예요. 곱이 −10, 합이 3인 수는 +5와 −2예요. 그래서 (x + 5)(x − 2).
4. x² − x − 20을 인수분해하세요.
곱이 −20, 합이 −1인 수는 −5와 +4예요. 그래서 (x − 5)(x + 4).
5. 2x² + 7x + 3을 인수분해하세요.
a × c = 6이에요. 곱이 6, 합이 7인 두 수는 6과 1이에요. 2x² + 6x + x + 3 = 2x(x + 3) + 1(x + 3) = (x + 3)(2x + 1).
6. 6x² − 5x − 6을 인수분해하세요.
a × c = −36이에요. 곱이 −36, 합이 −5인 두 수는 −9와 +4예요. 6x² − 9x + 4x − 6 = 3x(2x − 3) + 2(2x − 3) = (2x − 3)(3x + 2).
7. x² + 10x + 25를 인수분해하세요.
25 = 5 × 5이고 5 + 5 = 10이에요. 그래서 x² + 10x + 25 = (x + 5)(x + 5) = (x + 5)².
8. x² − 5x + 6 = 0을 푸세요.
인수분해하면 (x − 2)(x − 3) = 0이에요. 곱이 0이 되려면 어느 한 인수가 0이어야 하므로 x = 2 또는 x = 3이에요.
자주 하는 실수
- 곱해서 c가 되는 수만 고르고, 더해서 b가 되는지는 확인하지 않아요.
- 부호를 틀려요. c가 음수이면 두 수의 부호는 달라야 해요.
- a가 1이 아닐 때 a와 c를 곱하는 것을 잊어요.
- 마지막에 전개해서 답을 확인하지 않아요.