Переменные и константы
Переменная — это буква (x, y, n, a…), которая обозначает число. Её значение может меняться. Константа — число с постоянным значением, например 5 или −2.
Зачем нужны буквы? Буква позволяет записать одно правило для многих чисел. Фраза «у квадрата сторона s» даёт периметр 4s для любого квадрата: при s = 3 cm получаем 12 cm, при s = 10 cm получаем 40 cm.
Алгебраическое выражение соединяет переменные и константы знаками +, −, × или ÷. Примеры: 3x + 2, 5a − 4b, x² + 7, n/2. В выражении нет знака равенства; он есть в уравнении (3x + 2 = 14).
Правила записи: 3 × x пишем как 3x (сначала число, без знака ×); x × x — это x²; 1x — просто x.
Слагаемые, коэффициенты и виды выражений
Части выражения, соединённые знаками + или −, называются его слагаемыми (членами). В выражении 4x² − 3x + 7 слагаемые: 4x², −3x и 7. Знак перед слагаемым относится к нему.
- Коэффициент — числовая часть слагаемого. В −3x он равен −3. В x² он равен 1.
- Свободный член — слагаемое без буквы (7).
- Множители слагаемого: 4x² = 4 × x × x.
Название по числу слагаемых
- Одночлен: одно слагаемое (5y)
- Двучлен: два слагаемых (3x + 2)
- Трёхчлен: три слагаемых (x² + 2x + 1)
- Многочлен: одно или несколько слагаемых с целыми степенями
Как читать строение выражения
Смотри на выражение как на блоки. В 5(x + 2)² вся скобка (x + 2) — один блок, который возводят в квадрат, а затем умножают на 5. Увидев блоки, ты понимаешь, что делать сначала, и можешь заметить, например, что значение никогда не бывает отрицательным.
Подобные слагаемые и упрощение
Подобные слагаемые имеют ровно те же буквы в тех же степенях: 3x и −5x; 2ab и 7ab; 4y² и y². Неподобные слагаемые различаются: 3x и 3y; x и x²; x и 5.
Чтобы сложить или вычесть подобные слагаемые, складываем или вычитаем коэффициенты, а буквенную часть оставляем: 7x + 2x = 9x; 5ab − 8ab = −3ab. Неподобные слагаемые остаются отдельно: 3x + 4 не может стать 7x.
Упростить — значит привести подобные слагаемые. 2x + 3 + x + 1 = (2x + x) + (3 + 1) = 3x + 4. Эти две записи равносильны: они дают одно и то же значение при любом x.
Умножение слагаемых
Сначала умножаем числа, потом буквы: 3x × 4y = 12xy; 2a × 5a = 10a²; (−3m) × 2m² = −6m³.
Подстановка: находим значение
Чтобы найти значение выражения, заменяем каждую букву её числом и считаем по порядку действий (скобки, степени, × и ÷, затем + и −).
Пример: 2a² − 3b при a = 3, b = −2: 2 × 3² − 3 × (−2) = 2 × 9 + 6 = 24.
Формула — это равенство, связывающее величины: площадь прямоугольника A = lw; скорость v = d/t; простые проценты I = PRT/100. Подставь числа в правую часть, и получишь левую. Формулу можно и преобразовать, чтобы выразить другую букву: из v = d/t получаем d = vt.
Раскрытие скобок и разложение на множители
Раскрытие скобок использует распределительный закон: a(b + c) = ab + ac. Слагаемое снаружи умножается на каждое слагаемое внутри. 3(x + 2) = 3x + 6; −2(y − 5) = −2y + 10; x(x + 4) = x² + 4x.
В 3D выражение 3(x + 2) — это прямоугольник высотой 3 и длиной x + 2: его площадь равна 3x + 6.
Разложение на множители — обратное действие: находим наибольший общий множитель всех слагаемых и выносим его за скобки. 6x + 9 = 3(2x + 3); 4a² − 10a = 2a(2a − 5). Проверь, раскрыв скобки обратно.
Тождества
Тождество верно при любых значениях букв, например 2(x + 3) = 2x + 6 или (a + b)² = a² + 2ab + b². Уравнение вроде 2x = 6 верно только при x = 3. Тождества подробнее разбираются в уроке об алгебраических тождествах.
Попробуй: плитки алгебры дома
Вырежи бумажные полоски для x (скажем, 6 cm) и маленькие квадратики для 1 (1 cm). Выложи 2x + 3 + x + 1, а потом сдвинь одинаковые части вместе. Посчитай: 3 полоски и 4 квадратика. Теперь выложи 3 ряда «одна полоска + два квадратика», и ты увидишь, что 3(x + 2) = 3x + 6. На шаге свободной игры в 3D задай a и b и предскажи раскрытый вид, прежде чем смотреть.
Главные формулы и определения
- Слагаемое = коэффициент × буквенная часть, например у −3x² коэффициент −3
- Подобные слагаемые: ax + bx = (a + b)x
- Распределительный закон: a(b + c) = ab + ac; a(b − c) = ab − ac
- Разложение на множители: ab + ac = a(b + c) (выносим НОД)
- x × x = x²; xᵃ × xᵇ = xᵃ⁺ᵇ
- Тождество: верно при всех значениях; уравнение: верно при некоторых значениях
Разобранные примеры
1. Запиши слагаемые и коэффициент при y в выражении 5y² − 7y + 4.
Слагаемые: 5y², −7y, 4. Коэффициент при y равен −7 (знак идёт вместе с ним). Свободный член = 4.
2. Упрости 4a + 3b − a + 5b − 2.
Группируем подобные слагаемые: (4a − a) + (3b + 5b) − 2 = 3a + 8b − 2.
3. Найди значение 3x + 2 при x = 4.
3 × 4 + 2 = 12 + 2 = 14.
4. Найди значение 2p² − 3q при p = −2 и q = 5.
p² = (−2)² = 4. Значит, 2 × 4 − 3 × 5 = 8 − 15 = −7.
5. Раскрой скобки и упрости 3(2x + 1) − 2(x − 4).
3(2x + 1) = 6x + 3; −2(x − 4) = −2x + 8. Складываем: 6x − 2x + 3 + 8 = 4x + 11.
6. Разложи на множители 12m² − 18m.
НОД чисел 12 и 18 равен 6; в обоих слагаемых есть m. Значит, 12m² − 18m = 6m(2m − 3). Проверка: 6m × 2m = 12m², 6m × 3 = 18m. ✓
7. Такси берёт фиксированные ₹50 плюс ₹12 за каждый километр. Запиши выражение для платы за d км и найди её для 15 км.
Плата = 50 + 12d. При d = 15: 50 + 180 = ₹230.
Частые ошибки
- Сложение неподобных слагаемых: 3x + 4 НЕ равно 7x. Объединять можно только подобные слагаемые.
- Потерянный знак: в 5 − 2x коэффициент при x равен −2, а не 2.
- Умножение только первого слагаемого: 3(x + 2) равно 3x + 6, а не 3x + 2.
- Неверное возведение отрицательного числа в квадрат: при x = −3 получаем x² = 9 (не −9); пиши в скобках (−3)².