恒等式とは何か
2x + 1 = 7 のような方程式は、x = 3 のときだけ成り立ちます。恒等式は、どんな値でも成り立ちます。例:(x + 1)² = x² + 2x + 1。x = 5 を入れてみましょう。36 = 25 + 10 + 1。✓
恒等式かどうか調べるには、両辺に好きな数を入れてみます。証明するには、展開するか、図をかきます。
恒等式を面積で見る
長方形の面積 = たて × よこ。だから、かっこ2つのかけ算は面積として表せます。
- (a + b)² = a² + 2ab + b²:1辺が a + b の正方形は、a²が1つ、abが2つ、b²が1つ。
- (a − b)² = a² − 2ab + b²:a² からa×bの長方形を2つ取り除きます。すみの b² は2回取ったので、1回戻します。
- a² − b² = (a + b)(a − b):a² のすみから b² を切り取ります。L字形の一方の部分を動かすと、(a + b) × (a − b) の長方形になります。
- (x + a)(x + b) = x² + (a + b)x + ab:辺が x + a と x + b の長方形です。
公式とタイルを使った因数分解
因数分解とは、式をかけ算の形で書くことです。公式を右から左へ読みます。
- x² + 10x + 25 = (x + 5)²(最初と最後が2乗の形で、真ん中が 2 × x × 5)。
- 49y² − 16 = (7y)² − 4² = (7y + 4)(7y − 4)。
- x² + 7x + 12:和が7、積が12になる2つの数を探します。3と4です。だから (x + 3)(x + 4)。
代数タイル:x² には大きな正方形、x には長い長方形、1 には小さな正方形を1枚ずつ使います。x² をすみに置き、長方形を2つの辺にそって並べ、すき間を小さな正方形でうめます。きれいな長方形になれば、その辺の長さが因数です。
新しい公式を見つける
公式は、古い公式や図から新しく作れます。
- (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca:1辺が a + b + c の正方形は、3 × 3 の9個の部品に分かれます。
- (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³:1辺が a + b の立方体は8個のブロックに分かれます。
- (a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³:b のかわりに −b を入れます。
- a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²) と a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²)。
- a + b + c = 0 ならば a³ + b³ + c³ = 3abc。
新しい公式は、a = 2、b = 1 のように数を入れて、必ず確かめましょう。
分数式の約分
分数式とは、多項式を多項式で割った形の式で、(x² − 9)/(x + 3) のようなものです。簡単にするには、分子と分母を因数分解して、共通の因数を約分します。
(x² − 9)/(x + 3) = (x + 3)(x − 3)/(x + 3) = x − 3(ただし x ≠ −3)。
注意:約分できるのは因数ごとだけで、項を1つだけ消してはいけません。また、分母が0になる値は使えません。
やってみよう:紙の実験
紙を切ります。1辺7 cmの正方形(a²)を1枚、7 cm × 3 cmの長方形(ab)を2枚、1辺3 cmの正方形(b²)を1枚。つなげて大きな正方形にします。1辺をはかると10 cm。10² = 49 + 42 + 9 = 100 を確かめましょう。次に、1の正方形12枚と長方形を切って、x² + 7x + 12 を自分で因数分解してみましょう。
テストに出るポイント
よく出る問題:公式を使って展開する。99³ や 104 × 96 を直接かけ算せずに計算する。x³ + 27 や 8a³ − 27b³ を因数分解する。a + b + c = 0 を使う。図で恒等式を証明する。分数式を簡単にする。
重要な公式と用語
- (a + b)² = a² + 2ab + b²
- (a − b)² = a² − 2ab + b²
- a² − b² = (a + b)(a − b)
- (x + a)(x + b) = x² + (a + b)x + ab
- (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca
- (a + b)³ = a³ + b³ + 3ab(a + b); (a − b)³ = a³ − b³ − 3ab(a − b)
- a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²); a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²)
- a³ + b³ + c³ − 3abc = (a + b + c)(a² + b² + c² − ab − bc − ca)
例題
1. (2x + 3)² を展開しなさい。
(2x)² + 2(2x)(3) + 3² = 4x² + 12x + 9。
2. 98² を筆算を使わずに求めなさい。
(100 − 2)² = 10000 − 400 + 4 = 9604。
3. 104 × 96 を求めなさい。
(100 + 4)(100 − 4) = 100² − 4² = 10000 − 16 = 9984。
4. タイルを使って x² + 5x + 6 を因数分解しなさい。
x² が1枚、長方形が5枚、1が6枚。長方形の辺は x + 2 と x + 3。確かめ:2 + 3 = 5、2 × 3 = 6。だから (x + 2)(x + 3)。
5. (a + 2b − c)² を展開しなさい。
a² + 4b² + c² + 2(a)(2b) + 2(2b)(−c) + 2(−c)(a) = a² + 4b² + c² + 4ab − 4bc − 2ca。
6. 8x³ + 27 を因数分解しなさい。
(2x)³ + 3³ = (2x + 3)(4x² − 6x + 9)。
7. a + b + c = 0 のとき、a = 5、b = −2、c = −3 で a³ + b³ + c³ を求めなさい。
5 − 2 − 3 = 0 なので、a³ + b³ + c³ = 3abc = 3 × 5 × (−2) × (−3) = 90。確かめ:125 − 8 − 27 = 90 ✓。
8. (x² − 4x + 4)/(x² − 4) を簡単にしなさい。
分子 = (x − 2)²。分母 = (x + 2)(x − 2)。(x − 2) を約分して (x − 2)/(x + 2)(ただし x ≠ 2、−2)。
よくある間違い
- (a + b)² = a² + b² と書いてしまう。2つの ab の長方形が抜けています。真ん中の 2ab が必要です。
- (a − b)² の符号をまちがえる。最後の + b² はいつもプラスです。
- 分数で項を消してしまう。(x + 3)/3 は x ではありません。約分できるのは共通の因数だけです。
- 係数を2乗し忘れる。(3x)² = 9x² で、3x² ではありません。