입체도형이란?
정사각형 같은 평면도형은 가로와 세로만 있어요. 이것을 2차원이라고 해요. 입체도형(3차원 도형)은 높이도 있어서 공간을 차지해요.
- 면: 입체도형의 겉면이에요. 평평할 수도, 굽어 있을 수도 있어요.
- 모서리: 두 면이 만나는 선이에요.
- 꼭짓점: 모서리들이 만나는 뾰족한 점이에요.
다각형인 평평한 면으로만 이루어진 입체도형을 다면체라고 해요.
입체도형의 가족
| 입체도형 | 면 | 꼭짓점 | 모서리 |
|---|---|---|---|
| 정육면체 | 정사각형 6개 | 8 | 12 |
| 직육면체 | 직사각형 6개 | 8 | 12 |
| 삼각기둥 | 5 | 6 | 9 |
| 사각뿔 | 5 | 5 | 8 |
| 삼각뿔(사면체) | 4 | 4 | 6 |
| 원기둥 | 평평한 면 2 + 굽은 면 1 | 0 | 2 (굽은 선) |
| 원뿔 | 평평한 면 1 + 굽은 면 1 | 1 (꼭대기 점) | 1 (굽은 선) |
| 구 | 굽은 면 1 | 0 | 0 |
각기둥은 서로 같고 평행한 두 밑면(자른 단면이 늘 같아요)을 직사각형들이 이어 주는 입체도형이에요. 각뿔은 밑면이 하나이고, 삼각형 면들이 한 점인 꼭짓점(뿔의 꼭대기)에서 만나요. 각기둥과 각뿔은 밑면의 모양에 따라 이름을 붙여요.
밑면이 n각형인 각기둥: 면 = n + 2, 꼭짓점 = 2n, 모서리 = 3n. 밑면이 n각형인 각뿔: 면 = n + 1, 꼭짓점 = n + 1, 모서리 = 2n.
전개도: 입체도형을 펼친 모양
전개도는 접으면 입체도형이 되는 평면 그림이에요. 모든 면이 한 번씩 들어 있어요.
- 정육면체의 전개도는 모두 11가지예요. 가로로 정사각형 4개를 늘어놓고 위와 아래에 하나씩 붙인 모양이 가장 흔해요.
- 원기둥의 전개도는 원 2개와 직사각형 1개예요. 직사각형의 가로 길이는 원의 둘레와 같아요.
- 원뿔의 전개도는 원 1개와 부채꼴(더 큰 원의 한 조각)이에요.
- 사각뿔의 전개도는 정사각형 1개와 삼각형 4개예요.
정사각형 6개를 붙인다고 모두 정육면체 전개도가 되는 것은 아니에요. 접었을 때 두 정사각형이 같은 자리에 겹치면 안 돼요.
투상도와 스케치
기술자들은 입체도형을 평평한 그림 세 장으로 그려요. 앞에서 본 모양(정면도), 위에서 본 모양(평면도), 옆에서 본 모양(측면도)이에요. 예를 들어 세워 놓은 원기둥은 앞에서 보면 직사각형, 위에서 보면 원이에요. 사각뿔은 앞에서 보면 삼각형, 위에서 보면 대각선이 그어진 정사각형이에요.
종이에는 등각 점 종이에 입체도형을 스케치할 수 있어요. 보이지 않는 모서리는 점선으로 그려요.
집에서 해 보기
빈 치약 상자나 차 상자를 가져오세요. 면, 모서리, 꼭짓점을 세어 보세요. 그다음 몇몇 모서리를 조심해서 잘라 평평하게 펼쳐 보세요. 바로 전개도예요. 상자를 위, 앞, 옆에서 보고 세 가지 모양을 그려 보세요.
핵심 공식과 정의
- 다면체의 오일러 공식: F + V − E = 2
- 밑면이 n각형인 각기둥: F = n + 2, V = 2n, E = 3n
- 밑면이 n각형인 각뿔: F = n + 1, V = n + 1, E = 2n
- 정육면체: 면 6개, 꼭짓점 8개, 모서리 12개
- 투상도: 앞(정면도), 위(평면도), 옆(측면도)
풀이 예제
1. 육각기둥의 F, V, E를 구하고 오일러 공식이 맞는지 확인하세요.
1단계: n = 6. 2단계: F = 6 + 2 = 8. 3단계: V = 2 × 6 = 12. 4단계: E = 3 × 6 = 18. 확인: 8 + 12 − 18 = 2. 맞아요.
2. 다면체의 면이 7개, 꼭짓점이 10개예요. 모서리는 몇 개일까요?
1단계: F + V − E = 2. 2단계: 7 + 10 − E = 2. 3단계: 17 − E = 2이므로 E = 15.
3. 원기둥 전개도에서 원의 반지름이 7 cm예요. 직사각형의 가로 길이는 얼마여야 할까요?
직사각형이 원을 한 바퀴 감싸므로 가로 길이 = 원의 둘레 = 2 × π × r = 2 × 22/7 × 7 = 44 cm.
자주 하는 실수
- 정육면체의 모퉁이를 '모서리'라고 부르는 실수. 모서리는 선이고, 꼭짓점은 점이에요.
- 정사각형 6개만 붙이면 다 정육면체 전개도라고 생각하는 실수. 머릿속으로 접어서 겹치는 정사각형이 없는지 확인하세요.
- 원기둥, 원뿔, 구에 오일러 공식을 쓰는 실수. 이 공식은 다면체(평평한 면으로만 된 도형)에만 써요.
- 각기둥과 각뿔을 헷갈리는 실수. 각기둥은 같은 밑면이 두 개이고, 각뿔은 밑면이 하나이고 꼭대기 점이 있어요.