Qu'est-ce qu'un solide ?
Une figure plate comme un carré n'a que de la longueur et de la largeur. Elle est en 2D. Un solide (figure en 3D) a aussi une hauteur. Il occupe de la place.
- Face : une surface du solide. Elle peut être plate ou courbe.
- Arête : une ligne où deux faces se rencontrent.
- Sommet (pluriel sommets) : un coin, là où des arêtes se rejoignent.
Un solide qui n'a que des faces plates, chacune étant un polygone, s'appelle un polyèdre.
Les familles de solides
| Solide | Faces | Sommets | Arêtes |
|---|---|---|---|
| Cube | 6 carrés | 8 | 12 |
| Pavé droit | 6 rectangles | 8 | 12 |
| Prisme à base triangulaire | 5 | 6 | 9 |
| Pyramide à base carrée | 5 | 5 | 8 |
| Pyramide à base triangulaire (tétraèdre) | 4 | 4 | 6 |
| Cylindre | 2 plates + 1 courbe | 0 | 2 (courbes) |
| Cône | 1 plate + 1 courbe | 1 (sommet) | 1 (courbe) |
| Sphère | 1 courbe | 0 | 0 |
Un prisme a deux bases égales et parallèles (sa coupe reste la même partout) reliées par des rectangles. Une pyramide a une base et des faces triangulaires qui se rejoignent en un seul point, le sommet de la pyramide. Un prisme ou une pyramide prend le nom de sa base.
Pour un prisme dont la base a n côtés : F = n + 2, S = 2n, A = 3n. Pour une pyramide dont la base a n côtés : F = n + 1, S = n + 1, A = 2n.
Les patrons : des solides mis à plat
Un patron est un dessin à plat qui se plie pour fabriquer un solide. Chaque face apparaît une seule fois dans le patron.
- Un cube a 11 patrons différents. Une ligne de 4 carrés avec un carré au-dessus et un en dessous est le plus courant.
- Le patron d'un cylindre est formé de deux disques et d'un rectangle. La longueur du rectangle est égale au périmètre du cercle.
- Le patron d'un cône est un disque et un secteur (une part d'un plus grand disque).
- Le patron d'une pyramide à base carrée est un carré avec quatre triangles.
Tous les assemblages de 6 carrés ne sont pas des patrons de cube. Si deux carrés tombent du même côté au pliage, ça ne marche pas.
Vues et dessins
Les ingénieurs dessinent un solide avec trois images plates : la vue de face (élévation), la vue de dessus (plan) et la vue de côté. Par exemple, un cylindre debout ressemble à un rectangle vu de face et à un cercle vu de dessus. Une pyramide à base carrée ressemble à un triangle vu de face et à un carré avec ses diagonales vu de dessus.
On peut aussi dessiner des solides sur du papier pointé isométrique, où les arêtes cachées sont tracées en pointillés.
À essayer à la maison
Prends une boîte vide de dentifrice ou de thé. Compte ses faces, ses arêtes et ses sommets. Puis découpe avec soin le long de certaines arêtes pour la mettre à plat. Tu as fabriqué un patron. Regarde la boîte de dessus, de face et de côté, et dessine les trois vues.
Formules et définitions clés
- Règle d'Euler pour les polyèdres : F + S − A = 2
- Prisme dont la base a n côtés : F = n + 2, S = 2n, A = 3n
- Pyramide dont la base a n côtés : F = n + 1, S = n + 1, A = 2n
- Cube : 6 faces, 8 sommets, 12 arêtes
- Vues : de face (élévation), de dessus (plan), de côté
Exemples résolus
1. Un prisme à base hexagonale. Trouve F, S et A, puis vérifie la règle d'Euler.
Étape 1 : n = 6. Étape 2 : F = 6 + 2 = 8. Étape 3 : S = 2 × 6 = 12. Étape 4 : A = 3 × 6 = 18. Vérification : 8 + 12 − 18 = 2. C'est juste.
2. Un polyèdre a 7 faces et 10 sommets. Combien a-t-il d'arêtes ?
Étape 1 : F + S − A = 2. Étape 2 : 7 + 10 − A = 2. Étape 3 : 17 − A = 2, donc A = 15.
3. Le patron d'un cylindre a des disques de rayon 7 cm. Quelle doit être la longueur du rectangle ?
Le rectangle s'enroule autour du disque, donc sa longueur = périmètre = 2 × π × r = 2 × 22/7 × 7 = 44 cm.
Erreurs fréquentes
- Appeler « arêtes » les coins d'un cube. Les arêtes sont des lignes ; les sommets sont des points.
- Croire que 6 carrés collés font toujours un patron de cube. Plie-le dans ta tête pour vérifier qu'aucun carré ne se superpose.
- Utiliser la règle d'Euler pour un cylindre, un cône ou une sphère. Elle est faite pour les polyèdres (faces planes seulement).
- Confondre prismes et pyramides. Un prisme a deux bases égales ; une pyramide a une base et une pointe.