Was ist ein 3D-Körper?
Eine flache Figur wie ein Quadrat hat nur Länge und Breite. Sie ist 2D. Ein 3D-Körper hat auch eine Höhe. Er nimmt Platz ein.
- Fläche: eine Oberfläche des Körpers. Sie kann eben oder gekrümmt sein.
- Kante: eine Linie, an der zwei Flächen zusammentreffen.
- Ecke (englisch vertex, Mehrzahl vertices): ein Eckpunkt, an dem Kanten zusammentreffen.
Ein Körper, der nur ebene Flächen hat, die alle Vielecke sind, heißt Polyeder.
Familien von Körpern
| Körper | Flächen | Ecken | Kanten |
|---|---|---|---|
| Würfel | 6 Quadrate | 8 | 12 |
| Quader | 6 Rechtecke | 8 | 12 |
| Dreiecksprisma | 5 | 6 | 9 |
| Quadratische Pyramide | 5 | 5 | 8 |
| Dreieckspyramide (Tetraeder) | 4 | 4 | 6 |
| Zylinder | 2 ebene + 1 gekrümmte | 0 | 2 (gekrümmt) |
| Kegel | 1 ebene + 1 gekrümmte | 1 (Spitze) | 1 (gekrümmt) |
| Kugel | 1 gekrümmte | 0 | 0 |
Ein Prisma hat zwei gleiche, parallele Enden (sein Querschnitt bleibt gleich), die durch Rechtecke verbunden sind. Eine Pyramide hat eine Grundfläche und dreieckige Flächen, die in einem Punkt zusammenlaufen, der Spitze. Prisma und Pyramide werden nach ihrer Grundfläche benannt.
Für ein Prisma mit n-eckiger Grundfläche: F = n + 2, V = 2n, E = 3n. Für eine Pyramide mit n-eckiger Grundfläche: F = n + 1, V = n + 1, E = 2n. (F = Flächen, V = Ecken, E = Kanten.)
Netze: Körper flach gelegt
Ein Netz ist ein flaches Muster, das sich zu einem Körper falten lässt. Jede Fläche kommt im Netz genau einmal vor.
- Ein Würfel hat 11 verschiedene Netze. Am häufigsten ist eine Reihe aus 4 Quadraten mit je einem Quadrat darüber und darunter.
- Das Netz eines Zylinders besteht aus zwei Kreisen und einem Rechteck. Die Länge des Rechtecks ist gleich dem Umfang des Kreises.
- Das Netz eines Kegels besteht aus einem Kreis und einem Sektor (einem Stück eines größeren Kreises).
- Das Netz einer quadratischen Pyramide besteht aus einem Quadrat mit vier Dreiecken.
Nicht jedes Muster aus 6 Quadraten ist ein Würfelnetz. Wenn beim Falten zwei Quadrate auf derselben Seite landen, funktioniert es nicht.
Ansichten und Skizzen
Ingenieure zeichnen einen Körper als drei flache Bilder: die Vorderansicht (Aufriss), die Draufsicht (Grundriss) und die Seitenansicht. Ein stehender Zylinder sieht zum Beispiel von vorn wie ein Rechteck und von oben wie ein Kreis aus. Eine quadratische Pyramide sieht von vorn wie ein Dreieck und von oben wie ein Quadrat mit seinen Diagonalen aus.
Auf Papier können wir Körper auf isometrischem Punktpapier skizzieren, wobei verdeckte Kanten gestrichelt gezeichnet werden.
Probier es zu Hause aus
Nimm eine leere Zahnpastaschachtel oder Teepackung. Zähle ihre Flächen, Kanten und Ecken. Schneide dann vorsichtig entlang einiger Kanten, bis sie flach liegt. Du hast ein Netz gemacht. Betrachte die Schachtel von oben, von vorn und von der Seite und zeichne die drei Ansichten.
Wichtige Formeln und Definitionen
- Eulersche Regel für Polyeder: F + V − E = 2
- Prisma mit n-eckiger Grundfläche: F = n + 2, V = 2n, E = 3n
- Pyramide mit n-eckiger Grundfläche: F = n + 1, V = n + 1, E = 2n
- Würfel: 6 Flächen, 8 Ecken, 12 Kanten
- Ansichten: Vorderansicht (Aufriss), Draufsicht (Grundriss), Seitenansicht
Gelöste Beispiele
1. Ein sechseckiges Prisma. Bestimme F, V und E und prüfe die Eulersche Regel.
Schritt 1: n = 6. Schritt 2: F = 6 + 2 = 8. Schritt 3: V = 2 × 6 = 12. Schritt 4: E = 3 × 6 = 18. Probe: 8 + 12 − 18 = 2. Stimmt.
2. Ein Polyeder hat 7 Flächen und 10 Ecken. Wie viele Kanten hat es?
Schritt 1: F + V − E = 2. Schritt 2: 7 + 10 − E = 2. Schritt 3: 17 − E = 2, also E = 15.
3. Das Netz eines Zylinders hat Kreise mit Radius 7 cm. Wie lang muss das Rechteck sein?
Das Rechteck legt sich um den Kreis, also ist seine Länge = Umfang = 2 × π × r = 2 × 22/7 × 7 = 44 cm.
Häufige Fehler
- Die Ecken eines Würfels „Kanten“ nennen. Kanten sind Linien, Ecken sind Punkte.
- Glauben, dass jede Verbindung von 6 Quadraten ein Würfelnetz ist. Falte es im Kopf, um zu prüfen, dass sich keine zwei Quadrate überdecken.
- Die Eulersche Regel für Zylinder, Kegel oder Kugel benutzen. Sie gilt für Polyeder (nur ebene Flächen).
- Prismen und Pyramiden verwechseln. Ein Prisma hat zwei gleiche Enden, eine Pyramide hat eine Grundfläche und eine Spitze.