Wat is een 3D-vorm?
Een platte vorm zoals een vierkant heeft alleen lengte en breedte. Het is 2D. Een 3D-vorm (ruimtelijke figuur) heeft ook hoogte. Hij neemt ruimte in.
- Vlak: een oppervlak van de vorm. Het kan plat of gebogen zijn.
- Rib: een lijn waar twee vlakken samenkomen.
- Hoekpunt (meervoud hoekpunten): een hoek, waar ribben samenkomen.
Een vorm met alleen platte vlakken, die elk een veelhoek zijn, heet een veelvlak.
Families van vormen
| Vorm | Vlakken | Hoekpunten | Ribben |
|---|---|---|---|
| Kubus | 6 vierkanten | 8 | 12 |
| Balk | 6 rechthoeken | 8 | 12 |
| Driehoekig prisma | 5 | 6 | 9 |
| Vierkante piramide | 5 | 5 | 8 |
| Driehoekige piramide (tetraëder) | 4 | 4 | 6 |
| Cilinder | 2 platte + 1 gebogen | 0 | 2 (gebogen) |
| Kegel | 1 plat + 1 gebogen | 1 (top) | 1 (gebogen) |
| Bol | 1 gebogen | 0 | 0 |
Een prisma heeft twee gelijke, evenwijdige uiteinden (de doorsnede blijft hetzelfde) die door rechthoeken zijn verbonden. Een piramide heeft één grondvlak en driehoekige zijvlakken die in één punt samenkomen, de top. Een prisma of piramide is genoemd naar zijn grondvlak.
Voor een prisma met een grondvlak van n zijden: F = n + 2, V = 2n, E = 3n. Voor een piramide met een grondvlak van n zijden: F = n + 1, V = n + 1, E = 2n.
Netten: vormen plat gelegd
Een net is een plat patroon dat je kunt vouwen om een vorm te maken. Elk vlak komt precies één keer in het net voor.
- Een kubus heeft 11 verschillende netten. Een rij van 4 vierkanten met één vierkant erboven en één eronder is het bekendst.
- Het net van een cilinder bestaat uit twee cirkels en één rechthoek. De lengte van de rechthoek is gelijk aan de omtrek van de cirkel.
- Het net van een kegel is een cirkel en een sector (een stuk van een grotere cirkel).
- Het net van een vierkante piramide is een vierkant met vier driehoeken.
Niet elk patroon van 6 vierkanten is een kubusnet. Als twee vierkanten bij het vouwen op dezelfde kant terechtkomen, werkt het niet.
Aanzichten en schetsen
Ingenieurs tekenen een vorm als drie platte tekeningen: het vooraanzicht (opstand), het bovenaanzicht (plattegrond) en het zijaanzicht. Een rechtopstaande cilinder ziet er van voren bijvoorbeeld uit als een rechthoek en van boven als een cirkel. Een vierkante piramide ziet er van voren uit als een driehoek en van boven als een vierkant met zijn diagonalen.
Op papier kunnen we vormen schetsen op isometrisch stippenpapier, waar verborgen ribben als stippellijnen worden getekend.
Probeer het thuis
Pak een lege tandpastadoos of theedoos. Tel de vlakken, ribben en hoekpunten. Knip dan voorzichtig langs een paar ribben zodat hij plat komt te liggen. Je hebt een net gemaakt. Bekijk de doos van boven, van voren en van opzij en teken de drie aanzichten.
Belangrijke formules en begrippen
- Regel van Euler voor veelvlakken: F + V − E = 2
- Prisma met grondvlak van n zijden: F = n + 2, V = 2n, E = 3n
- Piramide met grondvlak van n zijden: F = n + 1, V = n + 1, E = 2n
- Kubus: 6 vlakken, 8 hoekpunten, 12 ribben
- Aanzichten: voor (opstand), boven (plattegrond), zij
Uitgewerkte voorbeelden
1. Een zeshoekig prisma. Bepaal F, V en E en controleer de regel van Euler.
Stap 1: n = 6. Stap 2: F = 6 + 2 = 8. Stap 3: V = 2 × 6 = 12. Stap 4: E = 3 × 6 = 18. Controle: 8 + 12 − 18 = 2. Klopt.
2. Een veelvlak heeft 7 vlakken en 10 hoekpunten. Hoeveel ribben heeft het?
Stap 1: F + V − E = 2. Stap 2: 7 + 10 − E = 2. Stap 3: 17 − E = 2, dus E = 15.
3. Een cilindernet heeft cirkels met straal 7 cm. Hoe lang moet de rechthoek zijn?
De rechthoek loopt om de cirkel heen, dus zijn lengte = omtrek = 2 × π × r = 2 × 22/7 × 7 = 44 cm.
Veelgemaakte fouten
- De hoeken van een kubus 'ribben' noemen. Ribben zijn lijnen; hoekpunten zijn punten.
- Denken dat elke 6 aaneengesloten vierkanten een kubusnet zijn. Vouw het in gedachten om te controleren dat geen twee vierkanten over elkaar vallen.
- De regel van Euler gebruiken voor een cilinder, kegel of bol. Hij geldt voor veelvlakken (alleen platte vlakken).
- Prisma's en piramides door elkaar halen. Een prisma heeft twee gelijke uiteinden; een piramide heeft één grondvlak en een top.