Che cos'è un solido?
Una figura piana come il quadrato ha solo lunghezza e larghezza. È 2D. Un solido (figura 3D) ha anche l'altezza. Occupa spazio.
- Faccia: una superficie del solido. Può essere piana o curva.
- Spigolo: una linea dove si incontrano due facce.
- Vertice (plurale vertici): un angolo, dove si incontrano gli spigoli.
Un solido con solo facce piane, ognuna un poligono, si chiama poliedro.
Le famiglie dei solidi
| Solido | Facce | Vertici | Spigoli |
|---|---|---|---|
| Cubo | 6 quadrati | 8 | 12 |
| Parallelepipedo | 6 rettangoli | 8 | 12 |
| Prisma triangolare | 5 | 6 | 9 |
| Piramide quadrata | 5 | 5 | 8 |
| Piramide triangolare (tetraedro) | 4 | 4 | 6 |
| Cilindro | 2 piane + 1 curva | 0 | 2 (curvi) |
| Cono | 1 piana + 1 curva | 1 (apice) | 1 (curvo) |
| Sfera | 1 curva | 0 | 0 |
Un prisma ha due basi uguali e parallele (la sezione resta sempre la stessa) unite da rettangoli. Una piramide ha una base e facce triangolari che si incontrano in un punto, l'apice. Prismi e piramidi prendono il nome dalla loro base.
Per un prisma con base di n lati: F = n + 2, V = 2n, S = 3n. Per una piramide con base di n lati: F = n + 1, V = n + 1, S = 2n.
Sviluppi: i solidi stesi in piano
Uno sviluppo è un disegno piatto che si può piegare per costruire un solido. Ogni faccia compare una volta sola.
- Un cubo ha 11 sviluppi diversi. Una fila di 4 quadrati con un quadrato sopra e uno sotto è il più comune.
- Lo sviluppo di un cilindro è fatto da due cerchi e un rettangolo. La lunghezza del rettangolo è uguale alla circonferenza del cerchio.
- Lo sviluppo di un cono è un cerchio e un settore circolare (una fetta di un cerchio più grande).
- Lo sviluppo di una piramide quadrata è un quadrato con quattro triangoli.
Non ogni disposizione di 6 quadrati è lo sviluppo di un cubo. Se due quadrati finiscono sullo stesso lato quando si piega, non funziona.
Viste e disegni
Gli ingegneri disegnano un solido con tre immagini piatte: la vista frontale (prospetto), la vista dall'alto (pianta) e la vista laterale. Per esempio, un cilindro in piedi da davanti sembra un rettangolo e da sopra un cerchio. Una piramide quadrata da davanti sembra un triangolo e da sopra un quadrato con le sue diagonali.
Sulla carta possiamo disegnare i solidi su carta puntinata isometrica, dove gli spigoli nascosti si mostrano con linee tratteggiate.
Provalo a casa
Prendi una scatola vuota di dentifricio o di tè. Conta le sue facce, i suoi spigoli e i suoi vertici. Poi taglia con attenzione lungo alcuni spigoli finché la scatola sta piatta. Hai fatto uno sviluppo. Guarda la scatola da sopra, da davanti e di lato e disegna le tre viste.
Formule e definizioni chiave
- Regola di Eulero per i poliedri: F + V − S = 2
- Prisma con base di n lati: F = n + 2, V = 2n, S = 3n
- Piramide con base di n lati: F = n + 1, V = n + 1, S = 2n
- Cubo: 6 facce, 8 vertici, 12 spigoli
- Viste: frontale (prospetto), dall'alto (pianta), laterale
Esempi svolti
1. Un prisma esagonale. Trova F, V e S e verifica la regola di Eulero.
Passo 1: n = 6. Passo 2: F = 6 + 2 = 8. Passo 3: V = 2 × 6 = 12. Passo 4: S = 3 × 6 = 18. Verifica: 8 + 12 − 18 = 2. Giusto.
2. Un poliedro ha 7 facce e 10 vertici. Quanti spigoli ha?
Passo 1: F + V − S = 2. Passo 2: 7 + 10 − S = 2. Passo 3: 17 − S = 2, quindi S = 15.
3. Lo sviluppo di un cilindro ha cerchi di raggio 7 cm. Quanto deve essere lungo il rettangolo?
Il rettangolo gira attorno al cerchio, quindi la sua lunghezza = circonferenza = 2 × π × r = 2 × 22/7 × 7 = 44 cm.
Errori comuni
- Chiamare 'spigoli' gli angoli di un cubo. Gli spigoli sono linee; i vertici sono punti.
- Pensare che 6 quadrati uniti in qualunque modo formino lo sviluppo di un cubo. Piega con la mente e controlla che nessun quadrato si sovrapponga.
- Usare la regola di Eulero per un cilindro, un cono o una sfera. Vale per i poliedri (solo facce piane).
- Confondere prismi e piramidi. Un prisma ha due basi uguali; una piramide ha una base e una punta.