O que é uma forma 3D?
Uma figura plana, como o quadrado, tem só comprimento e largura. Ela é 2D. Uma forma 3D, ou sólido, também tem altura. Ela ocupa espaço.
- Face: uma superfície do sólido. Pode ser plana ou curva.
- Aresta: uma linha onde duas faces se encontram.
- Vértice (plural vértices): um canto, onde as arestas se encontram.
Um sólido que só tem faces planas, todas elas polígonos, chama-se poliedro.
Famílias de sólidos
| Sólido | Faces | Vértices | Arestas |
|---|---|---|---|
| Cubo | 6 quadrados | 8 | 12 |
| Paralelepípedo | 6 retângulos | 8 | 12 |
| Prisma triangular | 5 | 6 | 9 |
| Pirâmide quadrada | 5 | 5 | 8 |
| Pirâmide triangular (tetraedro) | 4 | 4 | 6 |
| Cilindro | 2 planas + 1 curva | 0 | 2 (curvas) |
| Cone | 1 plana + 1 curva | 1 (ápice) | 1 (curva) |
| Esfera | 1 curva | 0 | 0 |
Um prisma tem duas bases iguais e paralelas (a seção continua a mesma) ligadas por retângulos. Uma pirâmide tem uma base e faces triangulares que se encontram em um ponto, o ápice. Prismas e pirâmides recebem o nome da sua base.
Para um prisma com base de n lados: F = n + 2, V = 2n, A = 3n. Para uma pirâmide com base de n lados: F = n + 1, V = n + 1, A = 2n.
Planificações: sólidos abertos no plano
Uma planificação é um desenho plano que pode ser dobrado para formar um sólido. Cada face aparece uma vez.
- Um cubo tem 11 planificações diferentes. Uma fileira de 4 quadrados com um quadrado em cima e um embaixo é a mais comum.
- A planificação de um cilindro tem dois círculos e um retângulo. O comprimento do retângulo é igual ao comprimento da circunferência do círculo.
- A planificação de um cone tem um círculo e um setor (uma fatia de um círculo maior).
- A planificação de uma pirâmide quadrada tem um quadrado e quatro triângulos.
Nem todo desenho de 6 quadrados é planificação de cubo. Se dois quadrados caírem no mesmo lado ao dobrar, não funciona.
Vistas e esboços
Engenheiros desenham um sólido com três figuras planas: a vista frontal (elevação), a vista superior (planta) e a vista lateral. Por exemplo, um cilindro em pé parece um retângulo visto de frente e um círculo visto de cima. Uma pirâmide quadrada parece um triângulo visto de frente e um quadrado com as diagonais visto de cima.
No papel, podemos esboçar sólidos em papel pontilhado isométrico, onde as arestas escondidas aparecem tracejadas.
Experimente em casa
Pegue uma caixa vazia de pasta de dente ou de chá. Conte suas faces, arestas e vértices. Depois corte com cuidado ao longo de algumas arestas até ela ficar plana. Você fez uma planificação. Olhe a caixa de cima, de frente e de lado e desenhe as três vistas.
Fórmulas e definições principais
- Regra de Euler para poliedros: F + V − A = 2
- Prisma com base de n lados: F = n + 2, V = 2n, A = 3n
- Pirâmide com base de n lados: F = n + 1, V = n + 1, A = 2n
- Cubo: 6 faces, 8 vértices, 12 arestas
- Vistas: frontal (elevação), superior (planta), lateral
Exemplos resolvidos
1. Um prisma hexagonal. Encontre F, V e A e confira a regra de Euler.
Passo 1: n = 6. Passo 2: F = 6 + 2 = 8. Passo 3: V = 2 × 6 = 12. Passo 4: A = 3 × 6 = 18. Conferência: 8 + 12 − 18 = 2. Certo.
2. Um poliedro tem 7 faces e 10 vértices. Quantas arestas ele tem?
Passo 1: F + V − A = 2. Passo 2: 7 + 10 − A = 2. Passo 3: 17 − A = 2, logo A = 15.
3. A planificação de um cilindro tem círculos de raio 7 cm. Qual deve ser o comprimento do retângulo?
O retângulo dá a volta no círculo, então seu comprimento = circunferência = 2 × π × r = 2 × 22/7 × 7 = 44 cm.
Erros comuns
- Chamar os cantos do cubo de 'arestas'. Arestas são linhas; vértices são pontos de canto.
- Achar que qualquer grupo de 6 quadrados ligados é planificação de cubo. Dobre mentalmente para ver se algum quadrado se sobrepõe.
- Usar a regra de Euler para cilindro, cone ou esfera. Ela vale para poliedros (só faces planas).
- Confundir prismas e pirâmides. O prisma tem duas bases iguais; a pirâmide tem uma base e uma ponta.