Что такое объёмная фигура?
У плоской фигуры, например квадрата, есть только длина и ширина. Она двумерная (2D). У объёмной фигуры (3D), или тела, есть ещё и высота. Она занимает место в пространстве.
- Грань: поверхность тела. Она может быть плоской или изогнутой.
- Ребро: линия, где встречаются две грани.
- Вершина (во множественном числе вершины): угол, в котором сходятся рёбра.
Тело, у которого все грани плоские и каждая из них многоугольник, называется многогранником.
Семейства тел
| Тело | Грани | Вершины | Рёбра |
|---|---|---|---|
| Куб | 6 квадратов | 8 | 12 |
| Параллелепипед (кубоид) | 6 прямоугольников | 8 | 12 |
| Треугольная призма | 5 | 6 | 9 |
| Четырёхугольная пирамида | 5 | 5 | 8 |
| Треугольная пирамида (тетраэдр) | 4 | 4 | 6 |
| Цилиндр | 2 плоские + 1 изогнутая | 0 | 2 (изогнутые) |
| Конус | 1 плоская + 1 изогнутая | 1 (вершина конуса) | 1 (изогнутое) |
| Шар | 1 изогнутая | 0 | 0 |
У призмы два одинаковых параллельных основания (сечение по всей длине не меняется), соединённых прямоугольниками. У пирамиды одно основание и треугольные грани, которые сходятся в одной точке, вершине пирамиды. Призма или пирамида получает название по своему основанию.
Для призмы с n-угольным основанием: Г = n + 2, В = 2n, Р = 3n. Для пирамиды с n-угольным основанием: Г = n + 1, В = n + 1, Р = 2n.
Развёртки: тела, разложенные на плоскости
Развёртка — это плоский рисунок, который можно сложить в тело. Каждая грань в развёртке встречается один раз.
- У куба 11 разных развёрток. Самая частая: ряд из 4 квадратов, один квадрат сверху и один снизу.
- Развёртка цилиндра — два круга и один прямоугольник. Длина прямоугольника равна длине окружности круга.
- Развёртка конуса — круг и сектор (кусок большего круга).
- Развёртка четырёхугольной пирамиды — квадрат и четыре треугольника.
Не любое расположение шести квадратов даёт развёртку куба. Если при складывании два квадрата попадают на одну и ту же сторону, развёртка не подходит.
Виды и чертежи
Инженеры рисуют тело в виде трёх плоских картинок: вид спереди (фасад), вид сверху (план) и вид сбоку. Например, цилиндр, стоящий на основании, спереди выглядит как прямоугольник, а сверху как круг. Четырёхугольная пирамида спереди выглядит как треугольник, а сверху как квадрат с диагоналями.
Тела можно рисовать на изометрической точечной бумаге, где невидимые рёбра показывают штриховыми линиями.
Попробуй дома
Возьми пустую коробку из-под зубной пасты или чая. Посчитай её грани, рёбра и вершины. Затем аккуратно разрежь её по некоторым рёбрам, чтобы она легла плоско. Ты получил развёртку. Посмотри на коробку сверху, спереди и сбоку и нарисуй три вида.
Главные формулы и определения
- Правило Эйлера для многогранников: Г + В − Р = 2
- Призма с n-угольным основанием: Г = n + 2, В = 2n, Р = 3n
- Пирамида с n-угольным основанием: Г = n + 1, В = n + 1, Р = 2n
- Куб: 6 граней, 8 вершин, 12 рёбер
- Виды: спереди (фасад), сверху (план), сбоку
Разобранные примеры
1. Шестиугольная призма. Найди Г, В и Р и проверь правило Эйлера.
Шаг 1: n = 6. Шаг 2: Г = 6 + 2 = 8. Шаг 3: В = 2 × 6 = 12. Шаг 4: Р = 3 × 6 = 18. Проверка: 8 + 12 − 18 = 2. Верно.
2. У многогранника 7 граней и 10 вершин. Сколько у него рёбер?
Шаг 1: Г + В − Р = 2. Шаг 2: 7 + 10 − Р = 2. Шаг 3: 17 − Р = 2, значит Р = 15.
3. В развёртке цилиндра круги имеют радиус 7 см. Какой длины должен быть прямоугольник?
Прямоугольник оборачивается вокруг круга, поэтому его длина = длина окружности = 2 × π × r = 2 × 22/7 × 7 = 44 см.
Частые ошибки
- Называть углы куба «рёбрами». Рёбра — это линии, а вершины — это точки-углы.
- Думать, что любые 6 соединённых квадратов дают развёртку куба. Сложи её в уме и проверь, что никакие два квадрата не накладываются.
- Применять правило Эйлера к цилиндру, конусу или шару. Оно только для многогранников (все грани плоские).
- Путать призмы и пирамиды. У призмы два одинаковых основания, а у пирамиды одно основание и острая вершина.