立体とは?
正方形のような平らな形には、たてとよこしかありません。これを平面図形(2D)といいます。立体(3D図形)には、高さもあって、場所をとります。
- 面: 立体の表面です。平らな面も、曲がった面もあります。
- 辺: 2つの面が出会う線です。
- 頂点: 辺が集まるかど(点)です。
平らな面だけでできていて、どの面も多角形である立体を多面体といいます。
立体のグループ
| 立体 | 面 | 頂点 | 辺 |
|---|---|---|---|
| 立方体 | 正方形6つ | 8 | 12 |
| 直方体 | 長方形6つ | 8 | 12 |
| 三角柱 | 5 | 6 | 9 |
| 四角錐 | 5 | 5 | 8 |
| 三角錐(四面体) | 4 | 4 | 6 |
| 円柱 | 平ら2つ + 曲面1つ | 0 | 2(曲線) |
| 円錐 | 平ら1つ + 曲面1つ | 1(頂点) | 1(曲線) |
| 球 | 曲面1つ | 0 | 0 |
角柱は、同じ形で平行な2つの底面(どこで切っても同じ形)を、長方形でつないだ立体です。角錐は、1つの底面と、1つの点(頂点、てっぺん)に集まる三角形の面でできています。角柱や角錐は、底面の形で名前が決まります。
底面がn角形の角柱では、面 F = n + 2、頂点 V = 2n、辺 E = 3n です。底面がn角形の角錐では、面 F = n + 1、頂点 V = n + 1、辺 E = 2n です。
展開図: 立体を平らに開く
展開図は、折ると立体になる平らな図です。どの面も1回ずつ出てきます。
- 立方体の展開図は全部で11種類あります。正方形4つを1列にならべて、上と下に1つずつつけた形がよく見られます。
- 円柱の展開図は、円が2つと長方形が1つです。長方形の長さは、円の円周と同じです。
- 円錐の展開図は、円1つと、おうぎ形(大きな円の一部)です。
- 四角錐の展開図は、正方形1つと三角形4つです。
正方形を6枚つなげれば、どれでも立方体の展開図になるわけではありません。折ったときに2枚の正方形が同じ場所に重なると、立方体になりません。
見取り図と投影図
技術者は、立体を3つの平らな絵で表します。正面図(前から見た図)、平面図(上から見た図)、側面図(横から見た図)です。たとえば、立てた円柱は、前から見ると長方形、上から見ると円に見えます。四角錐は、前から見ると三角形、上から見ると対角線の入った正方形に見えます。
紙には、等角図用の点線の紙(アイソメトリックドット紙)を使って立体を描けます。見えない辺は点線で表します。
おうちでやってみよう
空の歯みがきの箱やお茶の箱を用意します。面、辺、頂点を数えてみよう。次に、いくつかの辺にそって注意して切り、平らに開きます。これが展開図です。箱を上・前・横から見て、3つの図を描いてみよう。
重要な公式と用語
- 多面体のオイラーの公式: F + V − E = 2
- 底面がn角形の角柱: F = n + 2, V = 2n, E = 3n
- 底面がn角形の角錐: F = n + 1, V = n + 1, E = 2n
- 立方体: 面6、頂点8、辺12
- 図: 正面図(前から)、平面図(上から)、側面図(横から)
例題
1. 六角柱の F、V、E を求めて、オイラーの公式を確かめなさい。
手順1: n = 6。手順2: F = 6 + 2 = 8。手順3: V = 2 × 6 = 12。手順4: E = 3 × 6 = 18。確かめ: 8 + 12 − 18 = 2。正しいです。
2. ある多面体は、面が7つ、頂点が10個です。辺は何本ですか?
手順1: F + V − E = 2。手順2: 7 + 10 − E = 2。手順3: 17 − E = 2 なので、E = 15。
3. 円柱の展開図で、円の半径は7 cmです。長方形の長さはいくつにすればよいですか?
長方形は円のまわりに巻きつくので、長さ = 円周 = 2 × π × r = 2 × 22/7 × 7 = 44 cm。
よくある間違い
- 立方体のかどを「辺」と呼んでしまう。辺は線で、頂点は点(かど)です。
- 正方形を6枚つなげれば、どれでも立方体の展開図だと思う。頭の中で折って、2枚が重ならないか確かめよう。
- 円柱・円錐・球にオイラーの公式を使う。この公式は多面体(平らな面だけの立体)のためのものです。
- 角柱と角錐をまちがえる。角柱は同じ形の底面が2つ、角錐は底面が1つとてっぺんの点です。