什么是立体图形？
像正方形这样的平面图形只有长和宽，它是平面图形。立体图形还有高，所以会占据空间。
- 面：立体图形的表面，可以是平的，也可以是弯的。
- 棱：两个面相交的线。
- 顶点：角上的点，几条棱在这里相交。
如果一个立体图形的面全是平的，而且每个面都是多边形，就叫多面体。
立体图形的家族
| 立体图形 | 面 | 顶点 | 棱 |
|---|---|---|---|
| 正方体 | 6个正方形 | 8 | 12 |
| 长方体 | 6个长方形 | 8 | 12 |
| 三棱柱 | 5 | 6 | 9 |
| 四棱锥 | 5 | 5 | 8 |
| 三棱锥（四面体） | 4 | 4 | 6 |
| 圆柱 | 2个平面 + 1个曲面 | 0 | 2（弯的） |
| 圆锥 | 1个平面 + 1个曲面 | 1（顶点） | 1（弯的） |
| 球 | 1个曲面 | 0 | 0 |
棱柱有两个相同且平行的底面（截面处处一样），侧面是长方形。棱锥有一个底面，侧面是交于一点的三角形，这一点叫顶点（锥顶）。棱柱和棱锥都按底面的形状来命名。
底面是n边形的棱柱：面 F = n + 2，顶点 V = 2n，棱 E = 3n。底面是n边形的棱锥：F = n + 1，V = n + 1，E = 2n。
展开图：把立体图形铺平
展开图是能折成立体图形的平面图案。每个面在展开图里都出现一次。
- 正方体有11种不同的展开图。最常见的是一排4个正方形，上面一个，下面一个。
- 圆柱的展开图是两个圆和一个长方形。长方形的长等于圆的周长。
- 圆锥的展开图是一个圆和一个扇形（大圆的一小块）。
- 四棱锥的展开图是一个正方形加四个三角形。
不是任何6个正方形拼在一起都是正方体的展开图。如果折起来有两个正方形落在同一个位置，就不行。
视图和草图
工程师把立体图形画成三张平面图：主视图（正面）、俯视图（从上往下看）和侧视图。比如，竖着放的圆柱，从前面看是长方形，从上面看是圆。四棱锥从前面看是三角形，从上面看是带对角线的正方形。
我们还可以在等轴测点阵纸上画立体图形，看不见的棱用虚线表示。
在家试一试
拿一个空牙膏盒或茶叶盒，数一数它的面、棱和顶点。然后小心地沿着一些棱剪开，把它铺平，你就做出了一个展开图。再从上面、前面和侧面看这个盒子，画出三张视图。
重点公式和概念
- 多面体的欧拉公式：F + V − E = 2
- 底面为n边形的棱柱：F = n + 2，V = 2n，E = 3n
- 底面为n边形的棱锥：F = n + 1，V = n + 1，E = 2n
- 正方体：6个面，8个顶点，12条棱
- 视图：主视图（正面）、俯视图（上面）、侧视图
例题讲解
1. 一个六棱柱。求 F、V 和 E，并检验欧拉公式。
第1步：n = 6。第2步：F = 6 + 2 = 8。第3步：V = 2 × 6 = 12。第4步：E = 3 × 6 = 18。检验：8 + 12 − 18 = 2。正确。
2. 一个多面体有7个面、10个顶点。它有多少条棱？
第1步：F + V − E = 2。第2步：7 + 10 − E = 2。第3步：17 − E = 2，所以 E = 15。
3. 一个圆柱的展开图中，圆的半径是7 cm。长方形的长必须是多少？
长方形绕着圆转一圈，所以它的长 = 周长 = 2 × π × r = 2 × 22/7 × 7 = 44 cm。
常见错误
- 把正方体的角叫做“棱”。棱是线，顶点才是角上的点。
- 以为任意6个连在一起的正方形都能折成正方体。在脑子里折一折，看看有没有正方形重叠。
- 把欧拉公式用在圆柱、圆锥或球上。它只适用于多面体（只有平面的立体图形）。
- 把棱柱和棱锥弄混。棱柱有两个相同的底面；棱锥只有一个底面和一个尖顶。