先弄懂这些词
- 数据：我们收集到的一组数，比如考试分数。
- 平均数（x̄）：把所有数相加，再除以个数。它是数据的“平衡点”。
- 中位数（M）：把数据从小到大排好后，位于中间的那个数。
- 偏差：一个数离中心有多远，即 x − x̄。可能是负数，也可能是正数。
- 离散程度：数据的分散程度。离散程度的度量，就是用一个数来说明数据有多分散。
为什么需要它？两组数据可以平均数相同，但看起来完全不同。只看平均数，分不出它们的区别。
极差
极差 = 最大值 − 最小值。
它算起来很快。但它只看两个数。只要有一个特别大或特别小的数（离群值），即使其他数都很接近，极差也会变得很大。所以我们需要更好的度量方法。
未分组数据的平均偏差
先求每个数据到中心 a（平均数或中位数）的距离。“距离”就是不管负号：|x − a|。
M.D.(a) = Σ|xᵢ − a| ÷ n
步骤：(1) 求平均数或中位数，(2) 写出每个 |x − a|，(3) 相加，(4) 除以 n。
为什么要用绝对值？因为普通的偏差 x − x̄ 加起来总是 0，正负互相抵消。去掉符号就不会抵消了。
小知识：以中位数为中心的平均偏差，是所有平均偏差中最小的。
分组数据的平均偏差
离散型频数表（数值 x，频数 f，N = Σf）：M.D.(a) = Σfᵢ|xᵢ − a| ÷ N。
连续型分组（如 0–10、10–20）：用每组的组中值作为 x，再用同样的公式。
连续型频数表求中位数：先算 N/2，用累计频数找到中位数所在的组，然后 中位数 = l + ((N/2 − cf) ÷ f) × h。其中 l 是该组下限，cf 是该组之前的累计频数，f 是该组频数，h 是组距。
未分组数据的方差和标准差
方差 σ² = Σ(xᵢ − x̄)² ÷ n。平方可以去掉负号，还让较远的距离占更大的比重。
标准差 σ = √方差。它的单位和数据的单位一样（分、厘米、得分）。
简化公式（平均数是小数时很好用）：σ² = Σx² ÷ n − (x̄)²，或 σ = (1/n)√(nΣx² − (Σx)²)。
σ 永远不会是负数。只有当所有数据都相同时，σ = 0。
分组数据的方差和标准差
离散型或连续型（用组中值 x）：σ² = Σfᵢ(xᵢ − x̄)² ÷ N，或简化公式 σ² = Σfx² ÷ N − (x̄)²。
步长偏差法（数字很大时能省很多功夫）：选一个假定平均数 A 和组距 h，令 u = (x − A) ÷ h。则
σ² = h² [ Σfu² ÷ N − (Σfu ÷ N)² ]，x̄ = A + h × Σfu ÷ N。
改变原点（给每个数都加同一个数）不会改变 σ。把每个数都乘以 k，σ 就乘以 |k|。
比较两组数据：变异系数
当两组数据的平均数不同时，用 C.V. = (σ ÷ x̄) × 100 来比较波动大小。C.V. 越小的那一组越稳定。
试一试：测一测你家人的波动
问家里 5 个人昨晚睡了多少分钟（或者用 5 个考试分数）。把数写下来。先求极差，再求平均数，然后求每个数到平均数的距离，再求平方。算出 σ。接着在最后一个 3D 步骤里用滑块输入同样的 5 个数，检查你的答案。然后把一个滑块拉得很远，看 σ 会跳得多厉害。
考试题型
统计与概率这一单元在 CBSE 十一年级考试中占 12 分。常见的大题是：给一个分组表，求平均偏差，或求方差和标准差。一定要画出表格，列出 x、f、fx、d 或 u、fd² 等列，这样步骤分才不会丢。
重点公式和概念
- Range = largest value − smallest value
- M.D.(a) = Σ|xᵢ − a| ÷ n (a = mean or median)
- Grouped: M.D.(a) = Σfᵢ|xᵢ − a| ÷ N
- Variance σ² = Σ(xᵢ − x̄)² ÷ n = Σx² ÷ n − x̄²
- Grouped: σ² = Σfᵢ(xᵢ − x̄)² ÷ N
- Step deviation: σ² = h²[Σfu² ÷ N − (Σfu ÷ N)²], u = (x − A) ÷ h
- Standard deviation σ = √variance
- C.V. = (σ ÷ x̄) × 100
例题讲解
1. 求 12、7、19、3、15 的极差。
最大值 = 19，最小值 = 3。极差 = 19 − 3 = 16。
2. 求 3、5、7、9、11 以平均数为中心的平均偏差。
平均数 = 35 ÷ 5 = 7。距离 |x − 7|：4、2、0、2、4。和 = 12。M.D. = 12 ÷ 5 = 2.4。
3. 求 4、7、8、9、10、12、13、17 以中位数为中心的平均偏差。
共 8 个数，已按顺序排好，所以中位数 = (9 + 10) ÷ 2 = 9.5。距离：5.5、2.5、1.5、0.5、0.5、2.5、3.5、7.5。和 = 24。M.D. = 24 ÷ 8 = 3。
4. 求 6、8、10、12、14 的方差和标准差。
平均数 = 50 ÷ 5 = 10。偏差：−4、−2、0、2、4。平方：16、4、0、4、16。和 = 40。方差 = 40 ÷ 5 = 8。标准差 = √8 ≈ 2.83。
5. 表中 x 为 2、4、6、8，对应 f 为 1、3、4、2，求以平均数为中心的平均偏差和标准差。
N = 10。Σfx = 2 + 12 + 24 + 16 = 54，所以 x̄ = 5.4。|x − 5.4|：3.4、1.4、0.6、2.6。f|x − 5.4|：3.4、4.2、2.4、5.2，和为 15.2，所以 M.D. = 1.52。Σfx² = 4 + 48 + 144 + 128 = 324。σ² = 324 ÷ 10 − 5.4² = 32.4 − 29.16 = 3.24。σ = 1.8。
6. 组 0–10、10–20、20–30、30–40、40–50 的频数分别为 2、3、5、3、2。求以平均数为中心的平均偏差、方差和标准差。
组中值 x：5、15、25、35、45；N = 15。Σfx = 10 + 45 + 125 + 105 + 90 = 375，x̄ = 25。|x − 25|：20、10、0、10、20；乘以 f：40、30、0、30、40，和为 140；M.D. = 140 ÷ 15 ≈ 9.33。f(x − 25)²：800、300、0、300、800，和为 2200。σ² = 2200 ÷ 15 ≈ 146.67。σ ≈ 12.11。
7. 同一个表（0–50 上频数为 2、3、5、3、2），用步长偏差法再算一遍。
取 A = 25，h = 10，u = (x − 25) ÷ 10：−2、−1、0、1、2。fu：−4、−3、0、3、4，Σfu = 0。fu²：8、3、0、3、8，Σfu² = 22。σ² = 10² × [22 ÷ 15 − 0²] = 100 × 1.4667 ≈ 146.67。答案相同，但数字更小。
8. 组 0–10、10–20、20–30、30–40 的频数分别为 4、6、8、2。求以中位数为中心的平均偏差。
N = 20，N/2 = 10。累计频数：4、10、18、20。累计频数第一次大于 10 的组是 20–30，所以 l = 20，cf = 10，f = 8，h = 10。中位数 = 20 + ((10 − 10) ÷ 8) × 10 = 20。组中值 5、15、25、35；|x − 20|：15、5、5、15；乘以 f：60、30、40、30，和为 160。M.D. = 160 ÷ 20 = 8。
9. 击球手 A：平均数 50，标准差 10。击球手 B：平均数 80，标准差 12。谁更稳定？
C.V.(A) = 10 ÷ 50 × 100 = 20%。C.V.(B) = 12 ÷ 80 × 100 = 15%。B 的 C.V. 更小，所以 B 更稳定。
常见错误
- 把普通偏差 (x − x̄) 直接相加。它们的和永远是 0。求平均偏差要用 |x − x̄|，求方差要用 (x − x̄)²。
- 分组数据中忘了乘以 f，或者除以组数而不是 N = Σf。
- 题目问标准差，却只写了方差。最后要记得开平方。
- 用步长偏差法时，最后忘了乘以 h²。