Palavras que você precisa conhecer primeiro
- Dados: uma lista de números que coletamos, como notas de uma prova.
- Média (x̄): some todos os valores e divida pela quantidade. É o ponto de equilíbrio.
- Mediana (M): o valor do meio depois de colocar os dados em ordem.
- Desvio: o quanto um valor está longe do centro, x − x̄. Pode ser negativo ou positivo.
- Dispersão: espalhamento. Uma medida de dispersão é um número que diz o quanto os dados estão espalhados.
Por que precisamos dela? Duas listas podem ter a mesma média e ser muito diferentes. A média sozinha não consegue separá-las.
Amplitude
Amplitude = maior valor − menor valor.
É rápida. Mas olha só para dois números. Um valor muito grande ou muito pequeno (um valor atípico) pode deixar a amplitude enorme, mesmo que todos os outros valores estejam juntos. Por isso precisamos de medidas melhores.
Desvio médio para dados simples
Ache a distância de cada valor até um centro a (a média ou a mediana). Distância quer dizer que ignoramos o sinal de menos: |x − a|.
D.M.(a) = Σ|xᵢ − a| ÷ n
Passos: (1) ache a média ou a mediana, (2) escreva cada |x − a|, (3) some tudo, (4) divida por n.
Por que o valor absoluto? Os desvios simples x − x̄ sempre somam 0. Os negativos e os positivos se cancelam. Tirar os sinais evita isso.
Fato: o desvio médio em torno da mediana é o menor desvio médio possível.
Desvio médio para dados agrupados
Tabela de frequências discreta (valores x com frequências f, N = Σf): D.M.(a) = Σfᵢ|xᵢ − a| ÷ N.
Classes contínuas (como 0–10, 10–20): use o ponto médio de cada classe como x e a mesma fórmula.
Para a mediana de uma tabela contínua: ache N/2, localize a classe mediana pela frequência acumulada e use Mediana = l + ((N/2 − cf) ÷ f) × h, em que l é o limite inferior, cf a frequência acumulada antes da classe, f a frequência dela e h a amplitude da classe.
Variância e desvio padrão para dados simples
Variância σ² = Σ(xᵢ − x̄)² ÷ n. Elevar ao quadrado tira os sinais de menos e dá mais peso às distâncias grandes.
Desvio padrão σ = √variância. Ele volta à mesma unidade dos dados (notas, cm, pontos).
Fórmula curta (útil quando a média é decimal): σ² = Σx² ÷ n − (x̄)², ou σ = (1/n)√(nΣx² − (Σx)²).
σ nunca é negativo. σ = 0 só quando todos os valores são iguais.
Variância e desvio padrão para dados agrupados
Discretos ou contínuos (use os pontos médios x): σ² = Σfᵢ(xᵢ − x̄)² ÷ N, ou a fórmula curta σ² = Σfx² ÷ N − (x̄)².
Método do desvio por etapas (poupa trabalho com números grandes): escolha uma média assumida A e a amplitude de classe h, e defina u = (x − A) ÷ h. Então
σ² = h² [ Σfu² ÷ N − (Σfu ÷ N)² ] e x̄ = A + h × Σfu ÷ N.
Mudar a origem (somar um número a todos os valores) não muda σ. Multiplicar todos os valores por k multiplica σ por |k|.
Comparando dois conjuntos de dados: coeficiente de variação
Quando as médias são diferentes, compare o espalhamento com o C.V. = (σ ÷ x̄) × 100. O conjunto com o menor C.V. é mais regular (mais estável).
Experimente: meça o espalhamento da sua família
Pergunte a 5 pessoas da sua casa quantos minutos dormiram ontem à noite (ou use 5 notas de provas). Anote os números. Ache a amplitude, depois a média, depois a distância de cada valor até a média, depois os quadrados. Calcule σ. Agora coloque os mesmos 5 números nos controles deslizantes do último passo em 3D e confira sua resposta. Depois mova um controle bem longe e veja o quanto σ dá um salto.
Como isso cai nas provas
Em provas, uma questão típica pede o desvio médio ou a variância e o desvio padrão de uma tabela agrupada. Sempre monte a tabela com as colunas x, f, fx, d ou u, fd², assim você garante os pontos de cada etapa.
Fórmulas e definições principais
- Amplitude = maior valor − menor valor
- D.M.(a) = Σ|xᵢ − a| ÷ n (a = média ou mediana)
- Agrupados: D.M.(a) = Σfᵢ|xᵢ − a| ÷ N
- Variância σ² = Σ(xᵢ − x̄)² ÷ n = Σx² ÷ n − x̄²
- Agrupados: σ² = Σfᵢ(xᵢ − x̄)² ÷ N
- Desvio por etapas: σ² = h²[Σfu² ÷ N − (Σfu ÷ N)²], u = (x − A) ÷ h
- Desvio padrão σ = √variância
- C.V. = (σ ÷ x̄) × 100
Exemplos resolvidos
1. Ache a amplitude de 12, 7, 19, 3, 15.
Maior = 19, menor = 3. Amplitude = 19 − 3 = 16.
2. Ache o desvio médio em torno da média para 3, 5, 7, 9, 11.
Média = 35 ÷ 5 = 7. Distâncias |x − 7|: 4, 2, 0, 2, 4. Soma = 12. D.M. = 12 ÷ 5 = 2.4.
3. Ache o desvio médio em torno da mediana para 4, 7, 8, 9, 10, 12, 13, 17.
São 8 valores em ordem, então a mediana = (9 + 10) ÷ 2 = 9.5. Distâncias: 5.5, 2.5, 1.5, 0.5, 0.5, 2.5, 3.5, 7.5. Soma = 24. D.M. = 24 ÷ 8 = 3.
4. Ache a variância e o desvio padrão de 6, 8, 10, 12, 14.
Média = 50 ÷ 5 = 10. Desvios: −4, −2, 0, 2, 4. Quadrados: 16, 4, 0, 4, 16. Soma = 40. Variância = 40 ÷ 5 = 8. DP = √8 ≈ 2.83.
5. Para a tabela x: 2, 4, 6, 8 com f: 1, 3, 4, 2, ache o desvio médio em torno da média e o desvio padrão.
N = 10. Σfx = 2 + 12 + 24 + 16 = 54, então x̄ = 5.4. |x − 5.4|: 3.4, 1.4, 0.6, 2.6. f|x − 5.4|: 3.4, 4.2, 2.4, 5.2, soma 15.2, então D.M. = 1.52. Σfx² = 4 + 48 + 144 + 128 = 324. σ² = 324 ÷ 10 − 5.4² = 32.4 − 29.16 = 3.24. σ = 1.8.
6. As classes 0–10, 10–20, 20–30, 30–40, 40–50 têm frequências 2, 3, 5, 3, 2. Ache o desvio médio em torno da média, a variância e o desvio padrão.
Pontos médios x: 5, 15, 25, 35, 45; N = 15. Σfx = 10 + 45 + 125 + 105 + 90 = 375, x̄ = 25. |x − 25|: 20, 10, 0, 10, 20; f vezes isso: 40, 30, 0, 30, 40 = 140; D.M. = 140 ÷ 15 ≈ 9.33. f(x − 25)²: 800, 300, 0, 300, 800 = 2200. σ² = 2200 ÷ 15 ≈ 146.67. σ ≈ 12.11.
7. Faça a mesma tabela (2, 3, 5, 3, 2 sobre 0–50) pelo método do desvio por etapas.
Tome A = 25, h = 10, u = (x − 25) ÷ 10: −2, −1, 0, 1, 2. fu: −4, −3, 0, 3, 4, Σfu = 0. fu²: 8, 3, 0, 3, 8, Σfu² = 22. σ² = 10² × [22 ÷ 15 − 0²] = 100 × 1.4667 ≈ 146.67. Mesma resposta, com números menores.
8. As classes 0–10, 10–20, 20–30, 30–40 têm frequências 4, 6, 8, 2. Ache o desvio médio em torno da mediana.
N = 20, N/2 = 10. Frequências acumuladas: 4, 10, 18, 20. A primeira classe cuja frequência acumulada é maior que 10 é 20–30, então l = 20, cf = 10, f = 8, h = 10. Mediana = 20 + ((10 − 10) ÷ 8) × 10 = 20. Pontos médios 5, 15, 25, 35; |x − 20|: 15, 5, 5, 15; f vezes isso: 60, 30, 40, 30 = 160. D.M. = 160 ÷ 20 = 8.
9. Batedor A: média 50, DP 10. Batedor B: média 80, DP 12. Quem é mais regular?
C.V.(A) = 10 ÷ 50 × 100 = 20%. C.V.(B) = 12 ÷ 80 × 100 = 15%. B tem o menor C.V., então B é mais regular.
Erros comuns
- Somar os desvios simples (x − x̄). Eles sempre somam 0. Use |x − x̄| para o desvio médio ou (x − x̄)² para a variância.
- Esquecer de multiplicar por f em dados agrupados, ou dividir pelo número de classes em vez de N = Σf.
- Dar a variância quando a pergunta pede o desvio padrão. Tire a raiz quadrada no final.
- No método do desvio por etapas, esquecer de multiplicar por h² no final.