¿Qué es un cuerpo geométrico?
Una figura plana como un cuadrado solo tiene largo y ancho. Es 2D. Un cuerpo geométrico, o sólido, también tiene altura. Ocupa espacio.
- Cara: una superficie del sólido. Puede ser plana o curva.
- Arista: una línea donde se juntan dos caras.
- Vértice (plural vértices): una esquina, donde se juntan las aristas.
Un sólido con solo caras planas, cada una un polígono, se llama poliedro.
Familias de sólidos
| Sólido | Caras | Vértices | Aristas |
|---|---|---|---|
| Cubo | 6 cuadrados | 8 | 12 |
| Ortoedro (prisma rectangular) | 6 rectángulos | 8 | 12 |
| Prisma triangular | 5 | 6 | 9 |
| Pirámide cuadrada | 5 | 5 | 8 |
| Pirámide triangular (tetraedro) | 4 | 4 | 6 |
| Cilindro | 2 planas + 1 curva | 0 | 2 (curvas) |
| Cono | 1 plana + 1 curva | 1 (ápice) | 1 (curva) |
| Esfera | 1 curva | 0 | 0 |
Un prisma tiene dos bases iguales y paralelas (su sección se mantiene igual) unidas por rectángulos. Una pirámide tiene una base y caras triangulares que se juntan en un punto, el ápice. Un prisma o una pirámide se nombra según su base.
Para un prisma con base de n lados: C = n + 2, V = 2n, A = 3n. Para una pirámide con base de n lados: C = n + 1, V = n + 1, A = 2n.
Redes: sólidos extendidos en el plano
Una red es un dibujo plano que se puede plegar para armar un sólido. Cada cara aparece una sola vez en la red.
- Un cubo tiene 11 redes distintas. Una fila de 4 cuadrados con un cuadrado arriba y otro abajo es la más común.
- La red de un cilindro son dos círculos y un rectángulo. El largo del rectángulo es igual a la circunferencia del círculo.
- La red de un cono es un círculo y un sector (un trozo de un círculo más grande).
- La red de una pirámide cuadrada es un cuadrado con cuatro triángulos.
No todo dibujo de 6 cuadrados es la red de un cubo. Si al plegar dos cuadrados caen en el mismo lado, no sirve.
Vistas y bocetos
Los ingenieros dibujan un sólido con tres imágenes planas: la vista frontal (alzado), la vista superior (planta) y la vista lateral. Por ejemplo, un cilindro de pie se ve como un rectángulo de frente y como un círculo desde arriba. Una pirámide cuadrada se ve como un triángulo de frente y como un cuadrado con sus diagonales desde arriba.
En papel podemos dibujar sólidos en papel punteado isométrico, donde las aristas ocultas se muestran con líneas discontinuas.
Pruébalo en casa
Toma una caja vacía de pasta de dientes o de té. Cuenta sus caras, aristas y vértices. Luego corta con cuidado a lo largo de algunas aristas hasta que quede plana. Has hecho una red. Mira la caja desde arriba, de frente y de lado, y dibuja las tres vistas.
Fórmulas y definiciones clave
- Regla de Euler para poliedros: C + V − A = 2
- Prisma con base de n lados: C = n + 2, V = 2n, A = 3n
- Pirámide con base de n lados: C = n + 1, V = n + 1, A = 2n
- Cubo: 6 caras, 8 vértices, 12 aristas
- Vistas: frontal (alzado), superior (planta), lateral
Ejemplos resueltos
1. Un prisma hexagonal. Halla C, V y A, y comprueba la regla de Euler.
Paso 1: n = 6. Paso 2: C = 6 + 2 = 8. Paso 3: V = 2 × 6 = 12. Paso 4: A = 3 × 6 = 18. Comprobación: 8 + 12 − 18 = 2. Correcto.
2. Un poliedro tiene 7 caras y 10 vértices. ¿Cuántas aristas tiene?
Paso 1: C + V − A = 2. Paso 2: 7 + 10 − A = 2. Paso 3: 17 − A = 2, así que A = 15.
3. La red de un cilindro tiene círculos de radio 7 cm. ¿Qué largo debe tener el rectángulo?
El rectángulo rodea al círculo, así que su largo = circunferencia = 2 × π × r = 2 × 22/7 × 7 = 44 cm.
Errores comunes
- Llamar "aristas" a las esquinas de un cubo. Las aristas son líneas; los vértices son puntos de esquina.
- Pensar que cualquier unión de 6 cuadrados es la red de un cubo. Pliégala en tu mente y comprueba que ningún cuadrado se superponga.
- Usar la regla de Euler en un cilindro, un cono o una esfera. Es solo para poliedros (caras planas).
- Confundir prismas y pirámides. Un prisma tiene dos bases iguales; una pirámide tiene una base y una punta.