지수부등식: 밑을 먼저 봐요
지수부등식은 2ˣ > 8처럼 모르는 수가 지수(오른쪽 위에 작게 쓴 수)에 있는 부등식이에요.
1단계: 양쪽을 같은 밑으로 써요. 2ˣ > 2³.
2단계: 지수끼리 비교해요. 부등호의 방향은 밑이 정해요.
- 밑이 1보다 클 때(2나 10 같은 수): 곡선이 올라가요. 부등호는 그대로예요. 2ˣ > 2³이면 x > 3이에요.
- 밑이 0과 1 사이일 때(½ 같은 수): 곡선이 내려가요. 부등호가 뒤집혀요. (½)ˣ > (½)³이면 x < 3이에요.
거듭제곱은 0도 음수도 될 수 없어요. 그래서 2ˣ > −5는 모든 x에서 참이고, 2ˣ < −5는 어떤 x에서도 참이 아니에요.
숨은 이차식: 4ˣ − 3·2ˣ + 2 < 0에서는 t = 2ˣ (t > 0)로 놓아요. 그러면 t² − 3t + 2 < 0이므로 1 < t < 2, 즉 0 < x < 1이에요.
로그부등식: 정의역을 먼저 써요
로그는 "이 수가 되려면 몇 제곱을 해야 할까?"에 답해요. 2³ = 8이니까 log₂ 8 = 3이에요. 로그는 안쪽의 수(진수)가 0보다 클 때만 있어요.
loga f(x) < loga g(x)를 푸는 순서예요.
- 정의역을 써요: f(x) > 0 그리고 g(x) > 0.
- 밑이 1보다 크면 부등호 그대로 f < g. 밑이 0과 1 사이면 뒤집어서 f > g.
- 구한 답과 정의역의 공통 부분만 답으로 해요.
예: log₂(x − 1) < 3. 정의역은 x > 1. 비교하면 x − 1 < 8, 즉 x < 9. 답: 1 < x < 9.
필요하면 그냥 수를 로그로 바꿔요: 3 = log₂ 8.
무리부등식(근호가 있는 부등식)
무리부등식은 √(x + 2) < x처럼 모르는 수가 근호 안에 있는 부등식이에요. 제곱근은 절대 음수가 아니고, 근호 안의 수도 음수가 될 수 없어요.
√f < g일 때(근호가 작을 때): 세 조건이 동시에 맞아야 해요. f ≥ 0, g > 0, f < g².
√f > g일 때(근호가 클 때): 두 갈래 길을 따로 풀고 "또는"으로 합쳐요.
- g < 0 그리고 f ≥ 0 (0 이상인 근호는 음수보다 항상 커요), 또는
- g ≥ 0 그리고 f > g².
양쪽이 음수가 아닌 걸 모를 때는 양변을 제곱하면 안 돼요. 그럴 때만 제곱이 안전해요.
예: √(x + 2) < x. 정의역은 x ≥ −2. x > 0이 필요해요. 제곱하면 x + 2 < x², 즉 x² − x − 2 > 0, 그래서 x > 2 또는 x < −1. x > 0과 합치면 답은 x > 2예요.
답을 꼭 확인해요
답 안에 있는 수 하나와 밖에 있는 수 하나를 골라요. 둘 다 처음 부등식에 넣어 봐요. 안에 있는 수는 참(TRUE)이어야 하고, 밖에 있는 수는 거짓(FALSE) 또는 "허용 안 됨"이어야 해요. 3D 판에서 초록 막대는 참인 구간이고 빨간 막대는 금지 구역이에요.
여러 가지가 섞인 문제에서는 부호표를 써요. 각 부분의 부호가 바뀌는 점을 표시하고, 각 구간에서 수 하나씩 시험해서 참인 구간만 남겨요.
해 보기: 먼저 예상하고, 그다음 확인해요
3D 판에서 2^x > 4를 골라요. 밀기 전에 먼저 예상해 봐요. x = 1은 초록 막대 안에 있을까요? 시험용 x를 1로 밀어서 참인지 거짓인지 읽어 봐요. 이번엔 (1/2)^x > 4를 고르고 x = 1에 대해 다시 예상해 봐요. 집에서는 종이를 계속 반으로 접어 봐요. 5번 접으면 2⁵ = 32겹이에요. 몇 번 접으면 1000겹보다 많아질까요? (2ˣ > 1000이면 10번이에요.)
핵심 공식과 정의
- a > 1: aᶠ > aᵍ ⇔ f > g
- 0 < a < 1: aᶠ > aᵍ ⇔ f < g
- a > 1: logₐ f > logₐ g ⇔ f > g > 0
- 0 < a < 1: logₐ f > logₐ g ⇔ 0 < f < g
- √f < g ⇔ f ≥ 0, g > 0, f < g²
- √f > g ⇔ (g < 0, f ≥ 0) 또는 (g ≥ 0, f > g²)
풀이 예제
1. 3ˣ > 27을 풀어요.
27 = 3³이니까 3ˣ > 3³이에요. 밑 3은 1보다 크므로 부등호는 그대로예요: x > 3.
2. (1/2)^(x − 1) ≥ 1/8을 풀어요.
1/8 = (1/2)³이에요. 그래서 (1/2)^(x − 1) ≥ (1/2)³이에요. 밑이 0과 1 사이이므로 뒤집어요: x − 1 ≤ 3, 즉 x ≤ 4.
3. log₂(x − 1) < 3을 풀어요.
정의역: x − 1 > 0, 즉 x > 1. 3 = log₂ 8이므로 x − 1 < 8, 즉 x < 9가 필요해요. 답: 1 < x < 9.
4. log_{1/3}(2x − 1) > −1을 풀어요.
정의역: 2x − 1 > 0, 즉 x > 1/2. −1 = log_{1/3} 3으로 써요. 밑이 1보다 작으므로 뒤집어요: 2x − 1 < 3, 즉 x < 2. 답: 1/2 < x < 2.
5. 4ˣ − 3·2ˣ + 2 < 0을 풀어요.
t = 2ˣ (t > 0)로 놓아요. 그러면 t² − 3t + 2 < 0, 즉 (t − 1)(t − 2) < 0, 그래서 1 < t < 2예요. 이것은 2⁰ < 2ˣ < 2¹이므로 0 < x < 1이에요.
6. √(x + 2) < x를 풀어요.
x + 2 ≥ 0 (x ≥ −2), x > 0, 그리고 x + 2 < x²이 필요해요. 마지막 식에서 x² − x − 2 > 0, 즉 (x − 2)(x + 1) > 0, 그래서 x > 2 또는 x < −1이에요. x > 0과 합치면 x > 2예요.
7. √(x + 2) > x를 풀어요.
첫째 길: x < 0 그리고 x + 2 ≥ 0, 즉 −2 ≤ x < 0. 둘째 길: x ≥ 0 그리고 x + 2 > x², 즉 x² − x − 2 < 0, 그래서 −1 < x < 2, 따라서 0 ≤ x < 2. 합치면 −2 ≤ x < 2예요.
8. log₂ x + log₂(x − 2) ≤ 3을 풀어요.
정의역: x > 0 그리고 x − 2 > 0, 즉 x > 2. 합치면 log₂(x(x − 2)) ≤ 3이므로 x² − 2x ≤ 8, 즉 x² − 2x − 8 ≤ 0, 그래서 (x − 4)(x + 2) ≤ 0, 따라서 −2 ≤ x ≤ 4예요. 정의역과 합치면 2 < x ≤ 4예요.
자주 하는 실수
- 밑이 0과 1 사이인데 부등호를 뒤집지 않는 실수. 항상 밑부터 먼저 봐요.
- 로그의 정의역을 빼먹는 실수. 계산 결과가 더 넓게 나와도 log(x − 1)에는 x > 1이 필요해요.
- g가 음수인데 √f > g의 양변을 제곱하는 실수. 음수 g는 어떤 근호보다도 이미 작아요.
- 2ˣ = t로 놓고 t > 0을 잊는 실수. 2의 거듭제곱은 0도 음수도 될 수 없으니 t ≤ 0은 버려요.