Disequazioni esponenziali, logaritmiche e irrazionali

Disequazioni esponenziali: guarda la base

Una disequazione esponenziale ha l'incognita nell'esponente, come 2ˣ > 8. (L'esponente è il piccolo numero in alto.)

Passo 1: scrivi entrambi i membri con la stessa base: 2ˣ > 2³.

Passo 2: confronta gli esponenti. La base decide:

• Base maggiore di 1 (come 2 o 10): la curva sale. Il verso resta. 2ˣ > 2³ dà x > 3.
• Base tra 0 e 1 (come ½): la curva scende. Il verso si inverte. (½)ˣ > (½)³ dà x < 3.

Una potenza non è mai zero o negativa, quindi 2ˣ > −5 è vera per ogni x, e 2ˣ < −5 non è mai vera.

Equazione di secondo grado nascosta: per 4ˣ − 3·2ˣ + 2 < 0 poni t = 2ˣ (t > 0). Allora t² − 3t + 2 < 0, quindi 1 < t < 2, quindi 0 < x < 1.

Disequazioni logaritmiche: prima il dominio

Un logaritmo risponde alla domanda "quale esponente dà questo numero?". log₂ 8 = 3 perché 2³ = 8. Esiste solo quando il numero all'interno è maggiore di 0.

Per risolvere log_a f(x) < log_a g(x):

1. Scrivi il dominio: f(x) > 0 e g(x) > 0.
2. Base maggiore di 1: il verso resta, f < g. Base tra 0 e 1: si inverte, f > g.
3. Unisci la risposta al dominio (prendi solo la parte che sta in entrambi).

Esempio: log₂(x − 1) < 3. Dominio: x > 1. Confronto: x − 1 < 8, quindi x < 9. Risposta: 1 < x < 9.

Trasforma un numero semplice in un logaritmo quando serve: 3 = log₂ 8.

Disequazioni irrazionali (con radici)

Una disequazione irrazionale ha l'incognita sotto una radice, come √(x + 2) < x. Una radice quadrata non è mai negativa, e ciò che sta sotto non può essere negativo.

Caso √f < g (la radice è piccola). Devono valere insieme tutte e tre: f ≥ 0, g > 0 e f < g².

Caso √f > g (la radice è grande). Due strade, poi le uniamo con "oppure":

• g < 0 e f ≥ 0 (una radice che vale 0 o più batte sempre un numero negativo), oppure
• g ≥ 0 e f > g².

Non elevare mai al quadrato entrambi i membri se non sai che nessuno dei due è negativo. Elevare al quadrato è sicuro solo in quel caso.

Esempio: √(x + 2) < x. Dominio x ≥ −2. Serve x > 0. Elevo al quadrato: x + 2 < x², quindi x² − x − 2 > 0, quindi x > 2 oppure x < −1. Con x > 0 la risposta è x > 2.

Controlla ogni risposta

Scegli un numero dentro la tua risposta e uno fuori. Sostituiscili nella disequazione di partenza. Quello dentro deve dare VERO, quello fuori deve dare FALSO (oppure "non ammesso"). Nella lavagna 3D la barra verde è la zona vera e la barra rossa è la zona vietata.

Per i problemi misti usa uno schema dei segni: segna i punti in cui ogni parte cambia segno, prova un numero in ogni intervallo e tieni gli intervalli veri.

Prova tu: prevedi, poi verifica

Nella lavagna 3D scegli 2^x > 4. Prima di spostare, indovina: x = 1 è nella barra verde? Sposta la x di prova su 1 e leggi VERO o FALSO. Ora scegli (1/2)^x > 4 e indovina di nuovo per x = 1. A casa: piega un foglio a metà, ancora e ancora. Dopo 5 pieghe ci sono 2⁵ = 32 strati. Quante pieghe servono per avere più di 1000 strati? (2ˣ > 1000 dà 10 pieghe.)

Formule e definizioni chiave

• a > 1: aᶠ > aᵍ ⇔ f > g
• 0 < a < 1: aᶠ > aᵍ ⇔ f < g
• a > 1: logₐ f > logₐ g ⇔ f > g > 0
• 0 < a < 1: logₐ f > logₐ g ⇔ 0 < f < g
• √f < g ⇔ f ≥ 0, g > 0, f < g²
• √f > g ⇔ (g < 0, f ≥ 0) oppure (g ≥ 0, f > g²)

Esempi svolti

Errori comuni

• Dimenticare di invertire il verso quando la base è tra 0 e 1. Guarda sempre prima la base.
• Saltare il dominio di un logaritmo. log(x − 1) richiede x > 1, anche se i calcoli danno una risposta più larga.
• Elevare al quadrato entrambi i membri di √f > g quando g è negativo. Un g negativo è già più piccolo di qualsiasi radice.
• Scrivere 2ˣ = t e dimenticare t > 0. Una potenza di 2 non è mai zero o negativa, quindi scarta t ≤ 0.