Exponentiële, logaritmische en wortelongelijkheden

Exponentiële ongelijkheden: kijk naar het grondtal

Een exponentiële ongelijkheid heeft het onbekende in de exponent, zoals 2ˣ > 8. (De exponent is het kleine getal bovenaan.)

Stap 1: schrijf beide kanten met hetzelfde grondtal: 2ˣ > 2³.

Stap 2: vergelijk de exponenten. Het grondtal beslist:

• Grondtal groter dan 1 (zoals 2 of 10): de kromme stijgt. Het teken blijft. 2ˣ > 2³ geeft x > 3.
• Grondtal tussen 0 en 1 (zoals ½): de kromme daalt. Het teken draait om. (½)ˣ > (½)³ geeft x < 3.

Een macht is nooit nul of negatief, dus iets als 2ˣ > −5 klopt voor elke x, en 2ˣ < −5 klopt nooit.

Verborgen kwadratische vergelijking: bij 4ˣ − 3·2ˣ + 2 < 0 neem je t = 2ˣ (t > 0). Dan t² − 3t + 2 < 0, dus 1 < t < 2, dus 0 < x < 1.

Logaritmische ongelijkheden: eerst het domein

Een logaritme beantwoordt de vraag "welke macht geeft dit getal?". log₂ 8 = 3 omdat 2³ = 8. Hij bestaat alleen als het getal binnenin groter dan 0 is.

Zo los je log_a f(x) < log_a g(x) op:

1. Schrijf het domein op: f(x) > 0 en g(x) > 0.
2. Grondtal groter dan 1: houd het teken, f < g. Grondtal tussen 0 en 1: draai het om, f > g.
3. Combineer je antwoord met het domein (neem alleen het deel dat in beide zit).

Voorbeeld: log₂(x − 1) < 3. Domein: x > 1. Vergelijk: x − 1 < 8, dus x < 9. Antwoord: 1 < x < 9.

Maak van een gewoon getal een log als dat nodig is: 3 = log₂ 8.

Wortelongelijkheden (irrationaal)

Een wortelongelijkheid heeft het onbekende onder een wortel, zoals √(x + 2) < x. Een wortel is nooit negatief, en wat onder de wortel staat mag niet negatief zijn.

Geval √f < g (de wortel is klein). Alle drie moeten tegelijk gelden: f ≥ 0, g > 0 en f < g².

Geval √f > g (de wortel is groot). Twee wegen, die je daarna met "of" samenvoegt:

• g < 0 en f ≥ 0 (een wortel die 0 of meer is, wint altijd van een negatief getal), of
• g ≥ 0 en f > g².

Kwadrateer nooit beide kanten, tenzij je weet dat beide kanten niet negatief zijn. Alleen dan is kwadrateren veilig.

Voorbeeld: √(x + 2) < x. Domein x ≥ −2. Er moet gelden x > 0. Kwadrateer: x + 2 < x², dus x² − x − 2 > 0, dus x > 2 of x < −1. Met x > 0 is het antwoord x > 2.

Controleer elk antwoord

Kies één getal binnen je antwoord en één erbuiten. Vul beide in de oorspronkelijke ongelijkheid in. Binnen moet WAAR komen, buiten moet ONWAAR (of "niet toegestaan") komen. Op het 3D-bord is de groene balk het ware gebied en de rode balk het verboden gebied.

Gebruik bij gemengde opgaven een tekenschema: markeer de punten waar elk deel van teken verandert, test een getal in elk stuk en houd de stukken over die waar zijn.

Probeer het: voorspel en controleer

Kies op het 3D-bord 2^x > 4. Gok voordat je schuift: zit x = 1 in de groene balk? Schuif de test-x naar 1 en lees WAAR of ONWAAR. Kies nu (1/2)^x > 4 en gok opnieuw voor x = 1. Thuis: vouw een papier steeds opnieuw dubbel. Na 5 keer vouwen heb je 2⁵ = 32 lagen. Hoeveel keer vouwen geeft meer dan 1000 lagen? (2ˣ > 1000 geeft 10 keer.)

Belangrijke formules en begrippen

• a > 1: aᶠ > aᵍ ⇔ f > g
• 0 < a < 1: aᶠ > aᵍ ⇔ f < g
• a > 1: logₐ f > logₐ g ⇔ f > g > 0
• 0 < a < 1: logₐ f > logₐ g ⇔ 0 < f < g
• √f < g ⇔ f ≥ 0, g > 0, f < g²
• √f > g ⇔ (g < 0, f ≥ 0) of (g ≥ 0, f > g²)

Uitgewerkte voorbeelden

Veelgemaakte fouten

• Vergeten het teken om te draaien als het grondtal tussen 0 en 1 ligt. Kijk altijd eerst naar het grondtal.
• Het domein van een log overslaan. log(x − 1) heeft x > 1 nodig, ook als de algebra een ruimer antwoord geeft.
• Beide kanten van √f > g kwadrateren als g negatief is. Een negatieve g is al kleiner dan elke wortel.
• 2ˣ = t schrijven en vergeten dat t > 0. Een macht van 2 is nooit nul of negatief, dus gooi t ≤ 0 weg.