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Inéquations exponentielles, logarithmiques et irrationnelles

Trois familles d'inéquations reposent sur une même idée : comparer deux graphiques. Pour les puissances et les logarithmes, c'est la base qui décide si le signe change (base supérieure à 1 : le signe reste ; base entre 0 et 1 : le signe s'inverse). Pour les logarithmes et les racines, il faut d'abord vérifier le domaine, et avec une racine il faut faire attention au signe de l'autre côté.

🎬 L'histoire pas à pas

  1. On compare deux graphiques. La courbe bleue est 2ˣ et la droite orange est 4. La barre verte montre tous les x où le bleu est au-dessus de l'orange.
  2. Maintenant la base est 1/2. La courbe descend au lieu de monter, donc la barre verte passe du côté gauche. Le signe s'inverse.
  3. Un logarithme n'existe que pour x supérieur à 0. La barre rouge est la zone interdite. La barre verte s'arrête à x = 8.
  4. Une racine carrée n'existe qu'à partir de x = −2. Le bleu est au-dessus de l'orange de −2 jusqu'à 2. D'abord le domaine, ensuite la comparaison.
  5. On retourne la question : la racine est sous la droite. Maintenant seuls les x supérieurs à 2 conviennent. Glisse le x de test sur x = 0 et vois que ça échoue.
  6. Jeu libre. Choisis une inéquation, glisse le x de test, et vérifie que VRAI n'apparaît qu'à l'intérieur de la barre verte.

Astuce : fais glisser la scène 3D pour la tourner. Utilise deux doigts pour zoomer.

🤔 Les doutes courants, éclaircis

Pourquoi le signe s'inverse-t-il quand la base est 1/2 ?

Une base entre 0 et 1 rend la puissance plus petite quand l'exposant grandit. Donc une puissance plus grande demande un exposant plus petit.

Pourquoi x = 0 ou un nombre négatif n'est-il pas permis dans log x ?

Aucune puissance d'une base positive ne peut donner 0 ou un nombre négatif. Donc la courbe n'existe pas à cet endroit.

Pourquoi dois-je d'abord vérifier le domaine d'une racine ?

Dans cet exemple, la racine n'existe qu'à partir de x = −2. La barre verte ne peut pas commencer avant.

Pourquoi ne peut-on pas simplement tout mettre au carré ?

Si le côté droit est négatif, le carré le rend positif et change le sens. Teste x = 0 dans le cas « racine sous la droite » : ça échoue.

Comment être sûr que ma réponse est juste ?

Teste un nombre à l'intérieur et un à l'extérieur. VRAI seulement dans la barre verte, c'est que tu as raison.

Inéquations exponentielles : regarde la base

Une inéquation exponentielle a l'inconnue dans l'exposant, comme 2ˣ > 8. (L'exposant est le petit nombre écrit en haut.)

Étape 1 : écris les deux côtés avec la même base : 2ˣ > 2³.

Étape 2 : compare les exposants. C'est la base qui décide :

Une puissance n'est jamais nulle ni négative, donc 2ˣ > −5 est vrai pour tout x, et 2ˣ < −5 n'est jamais vrai.

Équation du second degré cachée : pour 4ˣ − 3·2ˣ + 2 < 0, pose t = 2ˣ (t > 0). Alors t² − 3t + 2 < 0, donc 1 < t < 2, donc 0 < x < 1.

Inéquations logarithmiques : le domaine d'abord

Un logarithme répond à la question « quelle puissance donne ce nombre ? ». log₂ 8 = 3 car 2³ = 8. Il n'existe que si le nombre à l'intérieur est strictement supérieur à 0.

Pour résoudre loga f(x) < loga g(x) :

  1. Écris le domaine : f(x) > 0 et g(x) > 0.
  2. Base supérieure à 1 : garde le signe, f < g. Base entre 0 et 1 : inverse-le, f > g.
  3. Associe la réponse au domaine (garde seulement la partie qui est dans les deux).

Exemple : log₂(x − 1) < 3. Domaine : x > 1. Comparaison : x − 1 < 8, donc x < 9. Réponse : 1 < x < 9.

Transforme un simple nombre en logarithme si besoin : 3 = log₂ 8.

Inéquations irrationnelles (avec racines)

Une inéquation irrationnelle a l'inconnue sous une racine, comme √(x + 2) < x. Une racine carrée n'est jamais négative, et ce qu'il y a dessous ne peut pas être négatif.

Cas √f < g (la racine est petite). Les trois conditions doivent être vraies ensemble : f ≥ 0, g > 0 et f < g².

Cas √f > g (la racine est grande). Deux chemins, qu'on réunit avec « ou » :

Ne mets jamais les deux côtés au carré sans savoir que les deux côtés sont positifs ou nuls. Élever au carré n'est sûr que dans ce cas.

Exemple : √(x + 2) < x. Domaine x ≥ −2. Il faut x > 0. Au carré : x + 2 < x², donc x² − x − 2 > 0, donc x > 2 ou x < −1. Avec x > 0, la réponse est x > 2.

Vérifie chaque réponse

Choisis un nombre dans ta réponse et un nombre en dehors. Mets les deux dans l'inéquation de départ. Celui de l'intérieur doit donner VRAI, celui de l'extérieur doit donner FAUX (ou « non autorisé »). Sur le tableau 3D, la barre verte est la zone vraie et la barre rouge est la zone interdite.

Pour les problèmes mixtes, utilise un tableau de signes : marque les points où chaque partie change de signe, teste un nombre dans chaque intervalle, et garde les intervalles vrais.

À toi : devine, puis vérifie

Sur le tableau 3D, choisis 2^x > 4. Avant de glisser, devine : est-ce que x = 1 est dans la barre verte ? Glisse le x de test sur 1 et lis VRAI ou FAUX. Choisis maintenant (1/2)^x > 4 et devine encore pour x = 1. À la maison : plie une feuille de papier en deux, encore et encore. Après 5 pliages, il y a 2⁵ = 32 épaisseurs. Combien de pliages donnent plus de 1000 épaisseurs ? (2ˣ > 1000 donne 10 pliages.)

Formules et définitions clés

Exemples résolus

1. Résous 3ˣ > 27.

27 = 3³, donc 3ˣ > 3³. La base 3 est supérieure à 1, donc on garde le signe : x > 3.

2. Résous (1/2)^(x − 1) ≥ 1/8.

1/8 = (1/2)³. Donc (1/2)^(x − 1) ≥ (1/2)³. La base est entre 0 et 1, donc on inverse : x − 1 ≤ 3, donc x ≤ 4.

3. Résous log₂(x − 1) < 3.

Domaine : x − 1 > 0, donc x > 1. Comme 3 = log₂ 8, il faut x − 1 < 8, donc x < 9. Réponse : 1 < x < 9.

4. Résous log_{1/3}(2x − 1) > −1.

Domaine : 2x − 1 > 0, donc x > 1/2. On écrit −1 = log_{1/3} 3. La base est inférieure à 1, donc on inverse : 2x − 1 < 3, donc x < 2. Réponse : 1/2 < x < 2.

5. Résous 4ˣ − 3·2ˣ + 2 < 0.

Pose t = 2ˣ, t > 0. Alors t² − 3t + 2 < 0, donc (t − 1)(t − 2) < 0, donc 1 < t < 2. C'est 2⁰ < 2ˣ < 2¹, donc 0 < x < 1.

6. Résous √(x + 2) < x.

Il faut x + 2 ≥ 0 (x ≥ −2), x > 0, et x + 2 < x². La dernière condition donne x² − x − 2 > 0, donc (x − 2)(x + 1) > 0, donc x > 2 ou x < −1. On associe à x > 0 : x > 2.

7. Résous √(x + 2) > x.

Chemin 1 : x < 0 et x + 2 ≥ 0, donc −2 ≤ x < 0. Chemin 2 : x ≥ 0 et x + 2 > x², donc x² − x − 2 < 0, donc −1 < x < 2, donc 0 ≤ x < 2. On réunit : −2 ≤ x < 2.

8. Résous log₂ x + log₂(x − 2) ≤ 3.

Domaine : x > 0 et x − 2 > 0, donc x > 2. On regroupe : log₂(x(x − 2)) ≤ 3, donc x² − 2x ≤ 8, donc x² − 2x − 8 ≤ 0, donc (x − 4)(x + 2) ≤ 0, donc −2 ≤ x ≤ 4. Avec le domaine : 2 < x ≤ 4.

Erreurs fréquentes

Quiz d'entraînement

1. La solution de 5ˣ > 25 est :
2. La solution de (0.5)ˣ > 0.25 est :
3. log₃(x − 2) est défini pour :
4. La solution de log₂ x < 3 est :
5. Pour √f < g, il faut f ≥ 0, f < g² et :

Entraînement : réponds toi-même

Écris ou choisis ta réponse, puis appuie sur Vérifier. Prends un indice si tu bloques ; la solution complète s'affiche après ta réponse.

Questions fréquentes

Quelle est la différence entre une équation et une inéquation ici ?

Une équation donne un ou quelques points. Une inéquation donne des intervalles entiers de x, comme x > 2.

Dois-je toujours inverser le signe quand je prends des logarithmes ?

Non. Seulement si la base est entre 0 et 1. Pour la base 2, 10 ou e, le signe reste.

Dans quelle classe apprend-on cela ?

On le voit dans les dernières années du lycée (autour de la classe de première ou terminale) dans de nombreux pays, avec les équations et les graphiques de fonctions.

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