Inecuaciones exponenciales, logarítmicas e irracionales

Inecuaciones exponenciales: mira la base

Una inecuación exponencial tiene la incógnita en el exponente, como 2ˣ > 8. (El exponente es el numerito elevado.)

Paso 1: escribe los dos lados con la misma base: 2ˣ > 2³.

Paso 2: compara los exponentes. La base decide:

• Base mayor que 1 (como 2 o 10): la curva sube. El signo se mantiene. 2ˣ > 2³ da x > 3.
• Base entre 0 y 1 (como ½): la curva baja. El signo se invierte. (½)ˣ > (½)³ da x < 3.

Una potencia nunca es cero ni negativa, así que algo como 2ˣ > −5 es cierto para todo x, y 2ˣ < −5 nunca es cierto.

Cuadrática escondida: en 4ˣ − 3·2ˣ + 2 < 0, pon t = 2ˣ (t > 0). Entonces t² − 3t + 2 < 0, así que 1 < t < 2, y por tanto 0 < x < 1.

Inecuaciones logarítmicas: primero el dominio

Un logaritmo responde a "¿qué exponente da este número?". log₂ 8 = 3 porque 2³ = 8. Solo existe cuando el número de dentro es mayor que 0.

Para resolver log_a f(x) < log_a g(x):

1. Escribe el dominio: f(x) > 0 y g(x) > 0.
2. Base mayor que 1: mantén el signo, f < g. Base entre 0 y 1: inviértelo, f > g.
3. Une la respuesta con el dominio (toma solo la parte que está en los dos).

Ejemplo: log₂(x − 1) < 3. Dominio: x > 1. Comparar: x − 1 < 8, así que x < 9. Respuesta: 1 < x < 9.

Convierte un número normal en logaritmo cuando haga falta: 3 = log₂ 8.

Inecuaciones irracionales (con raíz)

Una inecuación irracional tiene la incógnita bajo una raíz, como √(x + 2) < x. Una raíz cuadrada nunca es negativa, y lo que hay debajo no puede ser negativo.

Caso √f < g (la raíz es pequeña). Deben cumplirse las tres a la vez: f ≥ 0, g > 0 y f < g².

Caso √f > g (la raíz es grande). Dos caminos, y luego los unes con "o":

• g < 0 y f ≥ 0 (una raíz que vale 0 o más siempre gana a un número negativo), o
• g ≥ 0 y f > g².

Nunca eleves al cuadrado los dos lados si no sabes que ninguno es negativo. Elevar al cuadrado solo es seguro en ese caso.

Ejemplo: √(x + 2) < x. Dominio x ≥ −2. Hace falta x > 0. Al cuadrado: x + 2 < x², así que x² − x − 2 > 0, por tanto x > 2 o x < −1. Con x > 0 la respuesta es x > 2.

Comprueba cada respuesta

Elige un número dentro de tu respuesta y otro fuera. Pon los dos en la inecuación original. El de dentro debe dar VERDADERO, el de fuera debe dar FALSO (o "no permitido"). En el tablero 3D la barra verde es la zona verdadera y la barra roja es la zona prohibida.

Para problemas mixtos usa una tabla de signos: marca los puntos donde cambia cada parte, prueba un número en cada tramo y quédate con los tramos verdaderos.

Inténtalo: predice y luego comprueba

En el tablero 3D elige 2^x > 4. Antes de mover el control, adivina: ¿está x = 1 en la barra verde? Mueve el x de prueba a 1 y lee VERDADERO o FALSO. Ahora elige (1/2)^x > 4 y vuelve a adivinar para x = 1. En casa: dobla una hoja de papel por la mitad una y otra vez. Después de 5 dobleces hay 2⁵ = 32 capas. ¿Cuántos dobleces dan más de 1000 capas? (2ˣ > 1000 da 10 dobleces.)

Fórmulas y definiciones clave

• a > 1: aᶠ > aᵍ ⇔ f > g
• 0 < a < 1: aᶠ > aᵍ ⇔ f < g
• a > 1: logₐ f > logₐ g ⇔ f > g > 0
• 0 < a < 1: logₐ f > logₐ g ⇔ 0 < f < g
• √f < g ⇔ f ≥ 0, g > 0, f < g²
• √f > g ⇔ (g < 0, f ≥ 0) o (g ≥ 0, f > g²)

Ejemplos resueltos

Errores comunes

• Olvidar invertir el signo cuando la base está entre 0 y 1. Mira siempre la base primero.
• Saltarse el dominio de un logaritmo. log(x − 1) necesita x > 1, aunque el álgebra dé una respuesta más amplia.
• Elevar al cuadrado los dos lados de √f > g cuando g es negativo. Un g negativo ya es menor que cualquier raíz.
• Escribir 2ˣ = t y olvidar que t > 0. Una potencia de 2 nunca es cero ni negativa, así que descarta t ≤ 0.