Показательные неравенства: смотрим на основание
Показательное неравенство содержит неизвестное в показателе степени, например 2ˣ > 8. (Показатель — это маленькое число над основанием.)
Шаг 1: запиши обе части с одним основанием: 2ˣ > 2³.
Шаг 2: сравни показатели. Всё решает основание:
- Основание больше 1 (например, 2 или 10): кривая растёт. Знак остаётся. 2ˣ > 2³ даёт x > 3.
- Основание между 0 и 1 (например, ½): кривая падает. Знак меняется. (½)ˣ > (½)³ даёт x < 3.
Степень никогда не равна нулю и не бывает отрицательной, поэтому 2ˣ > −5 верно для любого x, а 2ˣ < −5 не верно никогда.
Скрытое квадратное: для 4ˣ − 3·2ˣ + 2 < 0 положи t = 2ˣ (t > 0). Тогда t² − 3t + 2 < 0, значит 1 < t < 2, значит 0 < x < 1.
Логарифмические неравенства: сначала область определения
Логарифм отвечает на вопрос «в какую степень надо возвести основание, чтобы получить это число?». log₂ 8 = 3, потому что 2³ = 8. Он существует, только когда число внутри больше 0.
Чтобы решить loga f(x) < loga g(x):
- Запиши область определения: f(x) > 0 и g(x) > 0.
- Основание больше 1: знак остаётся, f < g. Основание между 0 и 1: знак меняется, f > g.
- Объедини ответ с областью определения (бери только ту часть, что есть в обоих).
Пример: log₂(x − 1) < 3. Область определения: x > 1. Сравниваем: x − 1 < 8, значит x < 9. Ответ: 1 < x < 9.
Если нужно, превращай обычное число в логарифм: 3 = log₂ 8.
Иррациональные (корневые) неравенства
Иррациональное неравенство содержит неизвестное под корнем, например √(x + 2) < x. Квадратный корень никогда не бывает отрицательным, и выражение под ним тоже не может быть отрицательным.
Случай √f < g (корень маленький). Должны выполняться сразу три условия: f ≥ 0, g > 0 и f < g².
Случай √f > g (корень большой). Две дороги, потом соединяем их словом «или»:
- g < 0 и f ≥ 0 (корень, который равен 0 или больше, всегда больше отрицательного числа), или
- g ≥ 0 и f > g².
Никогда не возводи обе части в квадрат, если не уверен, что обе неотрицательны. Только тогда возведение в квадрат безопасно.
Пример: √(x + 2) < x. Область определения x ≥ −2. Нужно x > 0. Возводим в квадрат: x + 2 < x², значит x² − x − 2 > 0, значит x > 2 или x < −1. Вместе с x > 0 получаем ответ x > 2.
Проверяй каждый ответ
Возьми одно число внутри ответа и одно снаружи. Подставь оба в исходное неравенство. Внутреннее должно дать ИСТИНУ, внешнее — ЛОЖЬ (или «не допускается»). На 3D-доске зелёная полоса — это зона истины, красная полоса — запретная зона.
Для смешанных задач используй таблицу знаков: отметь точки, где каждая часть меняет знак, проверь число в каждом промежутке и оставь те промежутки, где верно.
Попробуй: сначала угадай, потом проверь
На 3D-доске выбери 2^x > 4. Прежде чем двигать ползунок, угадай: входит ли x = 1 в зелёную полосу? Поставь пробный x в 1 и прочитай ИСТИНА или ЛОЖЬ. Теперь выбери (1/2)^x > 4 и снова угадай для x = 1. Дома: сложи лист бумаги пополам, потом ещё и ещё. После 5 сложений получится 2⁵ = 32 слоя. Сколько сложений дадут больше 1000 слоёв? (2ˣ > 1000 даёт 10 сложений.)
Главные формулы и определения
- a > 1: aᶠ > aᵍ ⇔ f > g
- 0 < a < 1: aᶠ > aᵍ ⇔ f < g
- a > 1: logₐ f > logₐ g ⇔ f > g > 0
- 0 < a < 1: logₐ f > logₐ g ⇔ 0 < f < g
- √f < g ⇔ f ≥ 0, g > 0, f < g²
- √f > g ⇔ (g < 0, f ≥ 0) или (g ≥ 0, f > g²)
Разобранные примеры
1. Решите 3ˣ > 27.
27 = 3³, значит 3ˣ > 3³. Основание 3 больше 1, поэтому знак остаётся: x > 3.
2. Решите (1/2)^(x − 1) ≥ 1/8.
1/8 = (1/2)³. Значит (1/2)^(x − 1) ≥ (1/2)³. Основание между 0 и 1, поэтому знак меняется: x − 1 ≤ 3, значит x ≤ 4.
3. Решите log₂(x − 1) < 3.
Область определения: x − 1 > 0, значит x > 1. Так как 3 = log₂ 8, нужно x − 1 < 8, значит x < 9. Ответ: 1 < x < 9.
4. Решите log_{1/3}(2x − 1) > −1.
Область определения: 2x − 1 > 0, значит x > 1/2. Запишем −1 = log_{1/3} 3. Основание меньше 1, поэтому знак меняется: 2x − 1 < 3, значит x < 2. Ответ: 1/2 < x < 2.
5. Решите 4ˣ − 3·2ˣ + 2 < 0.
Пусть t = 2ˣ, t > 0. Тогда t² − 3t + 2 < 0, значит (t − 1)(t − 2) < 0, значит 1 < t < 2. То есть 2⁰ < 2ˣ < 2¹, значит 0 < x < 1.
6. Решите √(x + 2) < x.
Нужно x + 2 ≥ 0 (x ≥ −2), x > 0 и x + 2 < x². Последнее даёт x² − x − 2 > 0, значит (x − 2)(x + 1) > 0, значит x > 2 или x < −1. Объединяем с x > 0: x > 2.
7. Решите √(x + 2) > x.
Дорога 1: x < 0 и x + 2 ≥ 0, значит −2 ≤ x < 0. Дорога 2: x ≥ 0 и x + 2 > x², значит x² − x − 2 < 0, значит −1 < x < 2, значит 0 ≤ x < 2. Объединяем: −2 ≤ x < 2.
8. Решите log₂ x + log₂(x − 2) ≤ 3.
Область определения: x > 0 и x − 2 > 0, значит x > 2. Объединяем логарифмы: log₂(x(x − 2)) ≤ 3, значит x² − 2x ≤ 8, значит x² − 2x − 8 ≤ 0, значит (x − 4)(x + 2) ≤ 0, значит −2 ≤ x ≤ 4. С учётом области определения: 2 < x ≤ 4.
Частые ошибки
- Забыть сменить знак, когда основание между 0 и 1. Всегда сначала смотри на основание.
- Пропустить область определения логарифма. log(x − 1) требует x > 1, даже если алгебра даёт более широкий ответ.
- Возвести в квадрат обе части √f > g, когда g отрицательно. Отрицательное g и так меньше любого корня.
- Записать 2ˣ = t и забыть, что t > 0. Степень двойки никогда не равна нулю и не бывает отрицательной, поэтому t ≤ 0 нужно отбросить.