Exponential-, Logarithmus- und Wurzelungleichungen

Exponentialungleichungen: Schau auf die Basis

Eine Exponentialungleichung hat die Unbekannte im Exponenten, zum Beispiel 2ˣ > 8. (Der Exponent ist die kleine hochgestellte Zahl.)

Schritt 1: Schreibe beide Seiten mit derselben Basis: 2ˣ > 2³.

Schritt 2: Vergleiche die Exponenten. Die Basis entscheidet:

• Basis größer als 1 (wie 2 oder 10): Die Kurve steigt. Das Zeichen bleibt. 2ˣ > 2³ ergibt x > 3.
• Basis zwischen 0 und 1 (wie ½): Die Kurve fällt. Das Zeichen dreht sich um. (½)ˣ > (½)³ ergibt x < 3.

Eine Potenz ist nie null und nie negativ. Darum ist 2ˣ > −5 für jedes x wahr, und 2ˣ < −5 ist nie wahr.

Versteckte quadratische Gleichung: Bei 4ˣ − 3·2ˣ + 2 < 0 setze t = 2ˣ (t > 0). Dann gilt t² − 3t + 2 < 0, also 1 < t < 2, also 0 < x < 1.

Logarithmusungleichungen: Erst die Definitionsmenge

Ein Logarithmus beantwortet die Frage "Mit welchem Exponenten erhalte ich diese Zahl?". log₂ 8 = 3, weil 2³ = 8. Er existiert nur, wenn die Zahl darin größer als 0 ist.

So löst du log_a f(x) < log_a g(x):

1. Schreibe die Definitionsmenge auf: f(x) > 0 und g(x) > 0.
2. Basis größer als 1: Zeichen behalten, f < g. Basis zwischen 0 und 1: Zeichen umdrehen, f > g.
3. Verbinde das Ergebnis mit der Definitionsmenge (nimm nur den Teil, der in beiden liegt).

Beispiel: log₂(x − 1) < 3. Definitionsmenge: x > 1. Vergleich: x − 1 < 8, also x < 9. Antwort: 1 < x < 9.

Eine gewöhnliche Zahl kannst du bei Bedarf in einen Logarithmus verwandeln: 3 = log₂ 8.

Irrationale Ungleichungen (Wurzelungleichungen)

Eine irrationale Ungleichung hat die Unbekannte unter einer Wurzel, zum Beispiel √(x + 2) < x. Eine Quadratwurzel ist nie negativ, und der Ausdruck unter ihr darf nicht negativ sein.

Fall √f < g (die Wurzel ist klein). Alle drei Bedingungen müssen zugleich gelten: f ≥ 0, g > 0 und f < g².

Fall √f > g (die Wurzel ist groß). Zwei Wege, die man mit "oder" verbindet:

• g < 0 und f ≥ 0 (eine Wurzel, die 0 oder mehr ist, ist immer größer als eine negative Zahl), oder
• g ≥ 0 und f > g².

Quadriere nie beide Seiten, wenn du nicht weißt, dass beide Seiten nicht negativ sind. Nur dann ist Quadrieren sicher.

Beispiel: √(x + 2) < x. Definitionsmenge x ≥ −2. Wir brauchen x > 0. Quadrieren: x + 2 < x², also x² − x − 2 > 0, also x > 2 oder x < −1. Zusammen mit x > 0 lautet die Antwort x > 2.

Prüfe jede Antwort

Nimm eine Zahl innerhalb deiner Antwort und eine außerhalb. Setze beide in die ursprüngliche Ungleichung ein. Innen muss WAHR herauskommen, außen FALSCH (oder "nicht erlaubt"). Auf dem 3D-Brett ist der grüne Balken die wahre Zone und der rote Balken die verbotene Zone.

Bei gemischten Aufgaben hilft eine Vorzeichentabelle: Markiere die Stellen, an denen sich jeder Teil ändert, teste eine Zahl in jeder Lücke und behalte die Lücken, die wahr sind.

Probier es aus: erst raten, dann prüfen

Wähle auf dem 3D-Brett 2^x > 4. Rate, bevor du schiebst: Liegt x = 1 im grünen Balken? Schiebe das Test-x auf 1 und lies WAHR oder FALSCH ab. Wähle nun (1/2)^x > 4 und rate noch einmal für x = 1. Zu Hause: Falte ein Blatt Papier immer wieder in der Mitte. Nach 5 Faltungen hat es 2⁵ = 32 Lagen. Wie viele Faltungen ergeben mehr als 1000 Lagen? (2ˣ > 1000 ergibt 10 Faltungen.)

Wichtige Formeln und Definitionen

• a > 1: aᶠ > aᵍ ⇔ f > g
• 0 < a < 1: aᶠ > aᵍ ⇔ f < g
• a > 1: logₐ f > logₐ g ⇔ f > g > 0
• 0 < a < 1: logₐ f > logₐ g ⇔ 0 < f < g
• √f < g ⇔ f ≥ 0, g > 0, f < g²
• √f > g ⇔ (g < 0, f ≥ 0) oder (g ≥ 0, f > g²)

Gelöste Beispiele

Häufige Fehler

• Vergessen, das Zeichen umzudrehen, wenn die Basis zwischen 0 und 1 liegt. Schau immer zuerst auf die Basis.
• Die Definitionsmenge eines Logarithmus überspringen. log(x − 1) braucht x > 1, auch wenn die Rechnung eine weitere Lösung ergibt.
• Beide Seiten von √f > g quadrieren, wenn g negativ ist. Ein negatives g ist schon kleiner als jede Wurzel.
• 2ˣ = t setzen und t > 0 vergessen. Eine Potenz von 2 ist nie null oder negativ, also wirf t ≤ 0 weg.