Inequações Exponenciais, Logarítmicas e Irracionais

Inequações exponenciais: olhe a base

Uma inequação exponencial tem a incógnita no expoente, como 2ˣ > 8. (O expoente é o número pequeno escrito no alto.)

Passo 1: escreva os dois lados com a mesma base: 2ˣ > 2³.

Passo 2: compare os expoentes. A base decide:

• Base maior que 1 (como 2 ou 10): a curva sobe. O sinal fica igual. 2ˣ > 2³ dá x > 3.
• Base entre 0 e 1 (como ½): a curva desce. O sinal inverte. (½)ˣ > (½)³ dá x < 3.

Uma potência nunca é zero nem negativa, então algo como 2ˣ > −5 é verdadeiro para todo x, e 2ˣ < −5 nunca é verdadeiro.

Equação do 2º grau escondida: em 4ˣ − 3·2ˣ + 2 < 0, faça t = 2ˣ (t > 0). Então t² − 3t + 2 < 0, logo 1 < t < 2, logo 0 < x < 1.

Inequações logarítmicas: condição de existência primeiro

Um logaritmo responde "qual expoente dá este número?". log₂ 8 = 3 porque 2³ = 8. Ele só existe quando o número de dentro é maior que 0.

Para resolver log_a f(x) < log_a g(x):

1. Escreva a condição de existência: f(x) > 0 e g(x) > 0.
2. Base maior que 1: mantenha o sinal, f < g. Base entre 0 e 1: inverta, f > g.
3. Una a resposta com a condição de existência (fique só com a parte que está nas duas).

Exemplo: log₂(x − 1) < 3. Condição: x > 1. Comparando: x − 1 < 8, logo x < 9. Resposta: 1 < x < 9.

Transforme um número comum em log quando precisar: 3 = log₂ 8.

Inequações irracionais (com raiz)

Uma inequação irracional tem a incógnita dentro de uma raiz, como √(x + 2) < x. Uma raiz quadrada nunca é negativa, e o que está dentro dela não pode ser negativo.

Caso √f < g (a raiz é pequena). As três condições valem juntas: f ≥ 0, g > 0 e f < g².

Caso √f > g (a raiz é grande). Dois caminhos, unidos com "ou":

• g < 0 e f ≥ 0 (uma raiz que é 0 ou mais sempre vence um número negativo), ou
• g ≥ 0 e f > g².

Nunca eleve os dois lados ao quadrado sem saber que nenhum dos dois é negativo. Só é seguro nesse caso.

Exemplo: √(x + 2) < x. Condição x ≥ −2. Precisa de x > 0. Elevando ao quadrado: x + 2 < x², logo x² − x − 2 > 0, logo x > 2 ou x < −1. Com x > 0, a resposta é x > 2.

Confira toda resposta

Escolha um número dentro da sua resposta e um fora. Coloque os dois na inequação original. O de dentro deve dar VERDADEIRO, o de fora deve dar FALSO (ou "não permitido"). No quadro 3D, a barra verde é a zona verdadeira e a barra vermelha é a zona proibida.

Em problemas mistos, use um quadro de sinais: marque os pontos onde cada parte muda de sinal, teste um número em cada intervalo e fique com os intervalos verdadeiros.

Experimente: preveja e depois confira

No quadro 3D escolha 2^x > 4. Antes de mover, adivinhe: x = 1 está na barra verde? Leve o x de teste até 1 e leia VERDADEIRO ou FALSO. Agora escolha (1/2)^x > 4 e adivinhe de novo para x = 1. Em casa: dobre uma folha de papel ao meio, de novo e de novo. Depois de 5 dobras há 2⁵ = 32 camadas. Quantas dobras dão mais de 1000 camadas? (2ˣ > 1000 dá 10 dobras.)

Fórmulas e definições principais

• a > 1: aᶠ > aᵍ ⇔ f > g
• 0 < a < 1: aᶠ > aᵍ ⇔ f < g
• a > 1: logₐ f > logₐ g ⇔ f > g > 0
• 0 < a < 1: logₐ f > logₐ g ⇔ 0 < f < g
• √f < g ⇔ f ≥ 0, g > 0, f < g²
• √f > g ⇔ (g < 0, f ≥ 0) ou (g ≥ 0, f > g²)

Exemplos resolvidos

Erros comuns

• Esquecer de inverter o sinal quando a base está entre 0 e 1. Sempre olhe a base primeiro.
• Pular a condição de existência do log. log(x − 1) exige x > 1, mesmo que a álgebra dê uma resposta mais larga.
• Elevar os dois lados de √f > g ao quadrado quando g é negativo. Um g negativo já é menor que qualquer raiz.
• Escrever 2ˣ = t e esquecer que t > 0. Uma potência de 2 nunca é zero nem negativa, então descarte t ≤ 0.