Logaritmos

O que é um logaritmo?

Uma potência como 2³ = 8 tem três partes: a base 2, o expoente 3 e o resultado 8. O logaritmo pergunta pelo expoente.

log_b x = y significa b^y = x. Leia assim: "logaritmo de x na base b".

• log₂ 16 = 4, porque 2⁴ = 16.
• log₅ 25 = 2, porque 5² = 25.
• log₁₀ 0.01 = −2, porque 10⁻² = 0.01.

Regras para cada parte: a base b deve ser positiva e diferente de 1. O número x deve ser positivo. Por isso log(−5) e log 0 não existem.

Logaritmo e potência se desfazem um ao outro (são inversos): b^{log_b x} = x e log_b(b^x) = x.

Logaritmo decimal e logaritmo natural

Logaritmo decimal: base 10, escrito log x (ou lg x). Combina com o nosso sistema de numeração: log 1000 = 3, log 1 = 0, log 0.1 = −1.

Logaritmo natural: base e ≈ 2.718, escrito ln x. O número e aparece no crescimento natural, como o de bactérias ou o dos juros contínuos. ln e = 1, ln 1 = 0.

Escalas logarítmicas no dia a dia: pH = −log[H⁺], decibéis = 10 log(I/I₀), magnitude de terremotos. Num gráfico semilogarítmico, um eixo vai 1, 10, 100, 1000 em passos iguais, e por isso o crescimento rápido (exponencial) aparece como uma reta.

História: John Napier (1614) e Henry Briggs fizeram tábuas de logaritmos para que navegadores e astrônomos pudessem multiplicar números grandes somando logaritmos. A régua de cálculo usava a mesma ideia até as calculadoras chegarem.

As propriedades dos logaritmos

Para a e b positivos e base c (c ≠ 1):

• Produto: log(ab) = log a + log b
• Quociente: log(a/b) = log a − log b
• Potência: log(aⁿ) = n · log a
• Valores especiais: log_c 1 = 0, log_c c = 1
• Mudança de base: log_c x = log x ÷ log c = ln x ÷ ln c

Por que a propriedade do produto funciona: se a = 2³ e b = 2⁴, então ab = 2³⁺⁴. Os expoentes se somam quando multiplicamos, e os logaritmos são expoentes.

Cuidado: log(a + b) NÃO é log a + log b. Não existe uma regra simples para o log de uma soma.

O gráfico de y = log_b x

Para b > 1, o gráfico de y = log_b x:

• existe só para x > 0 (domínio), e y pode ser qualquer número real (imagem);
• sempre passa por (1, 0) e (b, 1);
• sobe rápido no começo e depois cada vez mais devagar;
• fica colado ao eixo y (x = 0 é uma assíntota vertical), mas nunca o toca.

Para 0 < b < 1 a curva desce. O gráfico de y = log_b x é o espelho de y = b^x em relação à reta y = x, porque as duas funções são inversas.

Os deslocamentos funcionam como sempre: y = log(x − 3) leva a curva 3 unidades para a direita, e a assíntota passa a ser x = 3.

Resolvendo equações exponenciais e logarítmicas

Equação exponencial (a incógnita está no expoente), por exemplo 5^x = 40:

1. Aplique o log nos dois lados: log 5^x = log 40.
2. Propriedade da potência: x log 5 = log 40.
3. Divida: x = log 40 ÷ log 5 ≈ 1.602 ÷ 0.699 ≈ 2.29.

Equação logarítmica, por exemplo log₂(x + 1) = 3: reescreva como potência: x + 1 = 2³ = 8, então x = 7. Sempre confira se o que está dentro de cada log continua positivo.

Inequações: para base > 1, o log é crescente, então log_b u < log_b v quer dizer u < v (com u, v > 0).

Modelagem: crescimento A = P(1 + r)^t. Para achar o tempo t, use t = log(A/P) ÷ log(1 + r).

Fórmulas e definições principais

• log_b x = y ⇔ b^y = x
• log(ab) = log a + log b
• log(a/b) = log a − log b
• log(aⁿ) = n log a
• log_b x = log x ÷ log b = ln x ÷ ln b
• log_b 1 = 0, log_b b = 1, b^(log_b x) = x

Exemplos resolvidos

Erros comuns

• Escrever log(a + b) = log a + log b. A propriedade do produto vale para multiplicação, não para soma.
• Escrever log a ÷ log b = log(a ÷ b). O lado esquerdo é a mudança de base, não a propriedade do quociente.
• Manter respostas que deixam o interior de um log igual a zero ou negativo. Sempre confira as soluções.
• Confundir log (base 10) com ln (base e) na calculadora.