O que é um expoente?
Em aⁿ, a é a base e n é o expoente (também chamado de índice ou potência). Significa a multiplicado por ele mesmo n vezes.
Exemplo: 5³ = 5 × 5 × 5 = 125. Lê-se “5 elevado a 3” ou “5 ao cubo”.
Cuidado com o sinal: (−3)² = 9, mas −3² = −9, porque sem parênteses o expoente pertence apenas ao 3.
As principais propriedades (mesma base)
- Produto: aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ (conte todos os fatores juntos).
- Quociente: aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ, a ≠ 0 (fatores iguais se cancelam).
- Potência de potência: (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ (n grupos de m fatores).
- Potência de um produto: (ab)ⁿ = aⁿbⁿ.
- Potência de um quociente: (a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ, b ≠ 0.
As propriedades só funcionam quando as bases são iguais (ou os expoentes são iguais, nas duas últimas). 2³ × 3² não pode virar uma única potência.
Expoente zero e expoente negativo (inteiros)
Use a regra do quociente em a⁵ ÷ a⁵. O resultado tem de ser 1 (qualquer número dividido por ele mesmo), e a regra dá a⁰. Logo a⁰ = 1 para a ≠ 0.
Agora a² ÷ a⁵ = a⁻³, mas cancelando dá 1/a³. Logo a⁻ⁿ = 1/aⁿ. Expoente negativo não deixa o número negativo: 2⁻³ = 1/8.
Um truque útil: (a/b)⁻ⁿ = (b/a)ⁿ. Inverta a fração e troque o expoente para positivo.
A notação científica usa isso: 0.00045 = 4.5 × 10⁻⁴.
Expoentes racionais (fracionários) e reais
(a^(1/2))² = a^1 = a, então a^(1/2) tem de ser √a. Em geral a^(1/n) = ⁿ√a e a^(m/n) = (ⁿ√a)ᵐ para a > 0.
Exemplo: 8^(2/3) = (∛8)² = 2² = 4. Tire a raiz primeiro: os números ficam pequenos.
Todas as propriedades continuam valendo para expoentes racionais. Para expoentes irracionais, como 2^√2, nos aproximamos cada vez mais com 2^1.4, 2^1.41, 2^1.414..., e assim as propriedades se estendem a todos os expoentes reais (com base positiva).
Equações exponenciais simples
Se duas potências de mesma base são iguais, os expoentes são iguais: se aˣ = aʸ (a > 0, a ≠ 1) então x = y.
Exemplo: 3ˣ⁺¹ = 81 = 3⁴, então x + 1 = 4 e x = 3.
Exemplo: 4ˣ = 32. Escreva os dois lados como potências de 2: 2²ˣ = 2⁵, então 2x = 5 e x = 2.5.
No dia a dia: bactérias que dobram a cada hora: N = 100 × 2ᵗ. Quando N = 3200? 2ᵗ = 32 = 2⁵, então t = 5 horas.
Fórmulas e definições principais
- aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ
- aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ
- (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ
- (ab)ⁿ = aⁿbⁿ
- (a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ
- a⁰ = 1 (a ≠ 0)
- a⁻ⁿ = 1/aⁿ
- a^(m/n) = (ⁿ√a)ᵐ
Exemplos resolvidos
1. Simplifique 3⁴ × 3².
Mesma base, multiplicar → somar: 3⁴⁺² = 3⁶ = 729.
2. Simplifique 7⁸ ÷ 7⁵.
Mesma base, dividir → subtrair: 7⁸⁻⁵ = 7³ = 343.
3. Calcule o valor de (2³)² × 2⁻⁴.
(2³)² = 2⁶. Depois 2⁶ × 2⁻⁴ = 2² = 4.
4. Calcule (2/5)⁻².
Inverta e deixe positivo: (5/2)² = 25/4 = 6.25.
5. Calcule 27^(2/3) + 16^(−1/2).
27^(2/3) = (∛27)² = 3² = 9. 16^(−1/2) = 1/√16 = 1/4. Total = 9.25.
6. Simplifique (x³y⁻²)² ÷ (x²y)⁻¹ e escreva com expoentes positivos.
(x³y⁻²)² = x⁶y⁻⁴. Dividir por (x²y)⁻¹ é multiplicar por x²y. Então x⁸y⁻³ = x⁸/y³.
7. Resolva 2ˣ × 4 = 128.
4 = 2², 128 = 2⁷. Então 2ˣ⁺² = 2⁷, x + 2 = 7, x = 5.
Erros comuns
- Multiplicar os expoentes num produto: 2³ × 2² é 2⁵, não 2⁶.
- Multiplicar as bases: 3² × 3⁴ é 3⁶, não 9⁶.
- Achar que expoente negativo deixa a resposta negativa: 5⁻² = 1/25, um número positivo.
- Achar que a⁰ = 0: qualquer número diferente de zero elevado a 0 é 1.