对数

什么是对数？

像 2³ = 8 这样的幂有三个部分：底数 2、指数 3 和结果 8。对数要找的就是指数。

log_b x = y 的意思是 b^y = x。读作“以 b 为底 x 的对数”。

• log₂ 16 = 4，因为 2⁴ = 16。
• log₅ 25 = 2，因为 5² = 25。
• log₁₀ 0.01 = −2，因为 10⁻² = 0.01。

各部分的要求：底数 b 必须是正数且不等于 1。真数 x 必须是正数。所以 log(−5) 和 log 0 都不存在。

对数和幂可以互相抵消（它们互为反函数）：b^{log_b x} = x，log_b(b^x) = x。

常用对数和自然对数

常用对数：底数是 10，写作 log x（或 lg x）。它和我们的十进制很配：log 1000 = 3，log 1 = 0，log 0.1 = −1。

自然对数：底数是 e ≈ 2.718，写作 ln x。数 e 出现在自然增长里，比如细菌繁殖或连续复利。ln e = 1，ln 1 = 0。

生活中的对数刻度：pH = −log[H⁺]，分贝 = 10 log(I/I₀)，还有地震震级。在半对数图上，一条轴按 1、10、100、1000 等距排列，所以快速的（指数）增长看起来是一条直线。

小历史：约翰·纳皮尔（1614 年）和亨利·布里格斯编制了对数表，让水手和天文学家把大数相乘变成对数相加。计算器出现之前，计算尺用的也是同样的原理。

对数的运算法则

设 a、b 为正数，底数为 c（c ≠ 1）：

• 积的法则：log(ab) = log a + log b
• 商的法则：log(a/b) = log a − log b
• 幂的法则：log(aⁿ) = n · log a
• 特殊值：log_c 1 = 0，log_c c = 1
• 换底公式：log_c x = log x ÷ log c = ln x ÷ ln c

为什么积的法则成立：如果 a = 2³，b = 2⁴，那么 ab = 2³⁺⁴。相乘时指数相加，而对数就是指数。

注意：log(a + b) 不等于 log a + log b。和的对数没有简单的法则。

函数 y = log_b x 的图像

当 b > 1 时，y = log_b x 的图像：

• 只在 x > 0 时存在（定义域），y 可以取任意实数（值域）；
• 一定经过 (1, 0) 和 (b, 1)；
• 开始上升得很快，然后越来越慢；
• 贴近 y 轴（x = 0 是一条竖直渐近线），但永远碰不到它。

当 0 < b < 1 时，曲线是下降的。y = log_b x 的图像和 y = b^x 的图像关于直线 y = x 对称，因为它们互为反函数。

平移和平常一样：y = log(x − 3) 把曲线向右移 3 个单位，所以渐近线变成 x = 3。

解指数方程和对数方程

指数方程（未知数在指数上），例如 5^x = 40：

1. 两边取对数：log 5^x = log 40。
2. 用幂的法则：x log 5 = log 40。
3. 相除：x = log 40 ÷ log 5 ≈ 1.602 ÷ 0.699 ≈ 2.29。

对数方程，例如 log₂(x + 1) = 3：改写成幂的形式：x + 1 = 2³ = 8，所以 x = 7。一定要检查每个对数里面的数是否仍然为正数。

不等式：底数 > 1 时，对数是增函数，所以 log_b u < log_b v 意味着 u < v（且 u、v > 0）。

建模：增长公式 A = P(1 + r)^t。要求时间 t，用 t = log(A/P) ÷ log(1 + r)。

重点公式和概念

• log_b x = y ⇔ b^y = x
• log(ab) = log a + log b
• log(a/b) = log a − log b
• log(aⁿ) = n log a
• log_b x = log x ÷ log b = ln x ÷ ln b
• log_b 1 = 0, log_b b = 1, b^(log_b x) = x

例题讲解

常见错误

• 把 log(a + b) 写成 log a + log b。积的法则说的是相乘，不是相加。
• 把 log a ÷ log b 写成 log(a ÷ b)。左边是换底公式，不是商的法则。
• 保留了让对数里面的数为零或负数的答案。一定要检验解。
• 在计算器上弄混 log（底数 10）和 ln（底数 e）。