MA e MG: dois tipos de média
Pegue dois números positivos a e b.
A média aritmética (MA) é a média de sempre: (a + b) / 2. É o ponto do meio entre a e b na reta numérica.
A média geométrica (MG) é √(ab). É o lado de um quadrado que tem a mesma área do retângulo a × b.
Exemplo: para 4 e 16, MA = (4 + 16)/2 = 10 e MG = √64 = 8.
A desigualdade MA–MG e sua demonstração
Enunciado: para todo a e b positivos, (a + b)/2 ≥ √(ab). Os dois lados são iguais somente quando a = b.
Demonstração, passo a passo. O quadrado de qualquer número real nunca é negativo. Então (√a − √b)² ≥ 0.
Abra o parêntese: a − 2√(ab) + b ≥ 0.
Passe o termo do meio para o outro lado: a + b ≥ 2√(ab).
Divida por 2: (a + b)/2 ≥ √(ab). Pronto. O quadrado só é zero se √a = √b, ou seja, a = b.
Por que os números precisam ser positivos: √a e √b precisam existir. Se a e b forem negativos, a desigualdade pode falhar (para −2 e −8, a MA é −5, mas a MG é 4).
Veja em 3D: retângulo e quadrados
Na cena 3D, o quadrado azul tem o mesmo perímetro do retângulo, então seu lado é a MA. O quadrado laranja tem a mesma área do retângulo, então seu lado é a MG. O quadrado azul sempre tem área maior ou igual à do retângulo: ((a+b)/2)² ≥ ab. É a mesma desigualdade, desenhada como figura. A diferença entre as duas áreas é ((a − b)/2)². Ela só vira zero quando a = b.
Problemas de máximo e mínimo
Regra 1 (soma fixa, produto máximo): se a + b = S, então ab ≤ (S/2)². O maior produto é (S/2)² e acontece em a = b = S/2.
Regra 2 (produto fixo, soma mínima): se ab = P, então a + b ≥ 2√P. A menor soma é 2√P e acontece em a = b = √P.
Formas úteis: x + 1/x ≥ 2 para x > 0 (igual em x = 1). Também a/b + b/a ≥ 2 para a, b positivos. E a² + b² ≥ 2ab para quaisquer a, b reais.
Como resolver (3 verificações): (1) Todos os termos são positivos? (2) O produto (ou a soma) é constante, sem sobrar x? (3) Os termos podem ficar iguais? Se sim, a resposta é atingida quando eles são iguais. Exemplo: x + 9/x. O produto x · 9/x = 9 é constante, então x + 9/x ≥ 2√9 = 6, com igualdade quando x = 9/x, isto é, x = 3.
Mais números: para n números positivos, a MA continua sendo ≥ a MG, com igualdade somente quando todos os números são iguais.
Experimente em casa
Pegue um barbante de 24 cm. Faça um retângulo com ele: primeiro 10 × 2, depois 8 × 4, depois 6 × 6. Desenhe cada um em papel quadriculado e conte os quadradinhos dentro: 20, 32, 36. Primeiro faça a previsão, depois conte. O quadrado vence. No 3D, escolha 'soma fixa' e arraste a até 5 para ver a mesma coisa.
Fórmulas e definições principais
- MA = (a + b)/2, MG = √(ab) (a, b > 0)
- MA ≥ MG, ou seja, (a + b)/2 ≥ √(ab); igual só se a = b
- a + b ≥ 2√(ab); ab ≤ ((a + b)/2)²
- Soma S fixa: produto máximo = (S/2)² em a = b = S/2
- Produto P fixo: soma mínima = 2√P em a = b = √P
- x + 1/x ≥ 2 para x > 0; a² + b² ≥ 2ab para todo a, b real
Exemplos resolvidos
1. Encontre a MA e a MG de 4 e 16. Verifique que MA ≥ MG.
MA = (4 + 16)/2 = 10. MG = √(4 × 16) = √64 = 8. Como 10 ≥ 8, vale MA ≥ MG. Não são iguais porque 4 ≠ 16.
2. Dois números positivos somam 14. Qual é o maior produto possível?
A soma S = 14 é fixa. O produto é maior quando os dois números são iguais: 7 e 7. Maior produto = 7 × 7 = 49. Confira: 6 × 8 = 48 é menor.
3. Um agricultor tem 60 m de cerca para um campo retangular. Encontre a maior área.
Dois lados a e b usam metade da cerca: a + b = 30. O produto ab é máximo quando a = b = 15. Maior área = 15 × 15 = 225 m².
4. Encontre o valor mínimo de x + 16/x para x > 0.
Os dois termos são positivos. O produto x · 16/x = 16 é constante. Então x + 16/x ≥ 2√16 = 8. Igualdade quando x = 16/x, logo x² = 16 e x = 4. Mínimo = 8 em x = 4.
5. Prove que a² + b² ≥ 2ab para todos a e b reais.
(a − b)² ≥ 0 porque um quadrado nunca é negativo. Abra: a² − 2ab + b² ≥ 0. Passe 2ab para a direita: a² + b² ≥ 2ab. Igual só quando a = b.
6. Encontre o valor mínimo de 2x + 8/x para x > 0 e o valor de x em que ele ocorre.
O produto dos dois termos é 2x · 8/x = 16, uma constante. Então 2x + 8/x ≥ 2√16 = 8. Igualdade quando 2x = 8/x, logo x² = 4 e x = 2. Mínimo = 8 em x = 2.
7. Para 0 < x < 6, encontre o maior valor de x(6 − x).
Os dois números x e 6 − x são positivos e somam 6, uma constante. Então o produto é máximo quando x = 6 − x, isto é, x = 3. O maior valor é 3 × 3 = 9.
Erros comuns
- Usar MA–MG com números negativos. Os dois números precisam ser positivos.
- Esquecer de verificar se o produto (ou a soma) é constante. Para x + 1/x funciona. Para x + x² o produto é x³, que não é constante, então não funciona.
- Escrever um mínimo sem checar se a igualdade pode realmente acontecer. Para x + 1/x, os termos são iguais em x = 1, então o mínimo 2 é real. Sempre verifique o caso de igualdade.
- Achar que MA ≥ MG quer dizer que a MA é sempre estritamente maior. Elas são iguais quando a = b.