均值不等式（AM–GM）

AM 和 GM：两种平均数

取两个正数 a 和 b。

算术平均数（AM）就是我们平时说的平均数：(a + b) / 2。它是数轴上 a 和 b 正中间的点。

几何平均数（GM）是 √(ab)。它是面积和 a × b 长方形相同的正方形的边长。

例子：对于 4 和 16，AM = (4 + 16)/2 = 10，GM = √64 = 8。

均值不等式及其证明

结论：对所有正数 a、b，(a + b)/2 ≥ √(ab)。两边只有在 a = b 时才相等。

一步一步证明。任何实数的平方都不会是负数。所以 (√a − √b)² ≥ 0。

展开括号：a − 2√(ab) + b ≥ 0。

把中间一项移到另一边：a + b ≥ 2√(ab)。

两边除以 2：(a + b)/2 ≥ √(ab)。证毕。只有当 √a = √b，也就是 a = b 时，平方才等于零。

为什么必须是正数：因为要有 √a 和 √b。如果 a 和 b 是负数，不等式可能不成立（对于 −2 和 −8，AM 是 −5，而 GM 是 4）。

看 3D 图：长方形和正方形

在 3D 场景里，蓝色正方形和长方形周长相同，所以它的边长就是 AM。橙色正方形和长方形面积相同，所以它的边长就是 GM。蓝色正方形的面积永远不小于长方形：((a+b)/2)² ≥ ab。这就是同一个不等式，只是画成了图。两个面积的差是 ((a − b)/2)²。只有 a = b 时，它才等于零。

最大值和最小值问题

规则 1（和固定，积最大）：如果 a + b = S，那么 ab ≤ (S/2)²。积的最大值是 (S/2)²，在 a = b = S/2 时取到。

规则 2（积固定，和最小）：如果 ab = P，那么 a + b ≥ 2√P。和的最小值是 2√P，在 a = b = √P 时取到。

常用形式：x > 0 时 x + 1/x ≥ 2（x = 1 时相等）。对正数 a、b，a/b + b/a ≥ 2。对任意实数 a、b，a² + b² ≥ 2ab。

解题方法（检查三步）：(1) 各项都是正数吗？(2) 积（或和）是常数吗，里面没有 x 了吗？(3) 各项能相等吗？如果能，相等时就取到答案。例子：x + 9/x。积 x · 9/x = 9 是常数，所以 x + 9/x ≥ 2√9 = 6，当 x = 9/x，即 x = 3 时相等。

更多个数：对 n 个正数，AM 仍然 ≥ GM，只有所有数都相等时才取等号。

在家试一试

拿一根 24 厘米长的绳子，用它围长方形：先围 10 × 2，再围 8 × 4，最后围 6 × 6。把每个都画在方格纸上，数一数里面有几个格子：20、32、36。先猜，再数。正方形赢了。在 3D 里选“和固定”，把 a 拖到 5，也能看到同样的结果。

重点公式和概念

• AM = (a + b)/2, GM = √(ab) (a, b > 0)
• AM ≥ GM，即 (a + b)/2 ≥ √(ab)；只有 a = b 时取等号
• a + b ≥ 2√(ab); ab ≤ ((a + b)/2)²
• 和 S 固定：最大积 = (S/2)²，在 a = b = S/2 时取到
• 积 P 固定：最小和 = 2√P，在 a = b = √P 时取到
• x > 0 时 x + 1/x ≥ 2; 对所有实数 a² + b² ≥ 2ab

例题讲解

常见错误

• 对负数使用均值不等式。两个数必须都是正数。
• 忘了检查积（或和）是不是常数。x + 1/x 可以用。x + x² 的积是 x³，不是常数，所以不能用。
• 写出最小值，却没检查等号真的能取到。对于 x + 1/x，x = 1 时两项相等，所以最小值 2 是真的。一定要检查相等的情况。
• 以为 AM ≥ GM 就表示 AM 一定严格更大。a = b 时它们是相等的。