AM e GM: due modi di fare la media
Prendi due numeri positivi a e b.
La media aritmetica (AM) è la media di sempre: (a + b) / 2. È il punto a metà strada tra a e b sulla retta dei numeri.
La media geometrica (GM) è √(ab). È il lato di un quadrato che ha la stessa area del rettangolo a × b.
Esempio: per 4 e 16, AM = (4 + 16)/2 = 10 e GM = √64 = 8.
La disuguaglianza AM–GM e la sua dimostrazione
Enunciato: per ogni a e b positivi, (a + b)/2 ≥ √(ab). I due membri sono uguali solo quando a = b.
Dimostrazione, passo dopo passo. Il quadrato di un numero reale non è mai negativo. Quindi (√a − √b)² ≥ 0.
Sviluppa la parentesi: a − 2√(ab) + b ≥ 0.
Porta il termine centrale dall'altra parte: a + b ≥ 2√(ab).
Dividi per 2: (a + b)/2 ≥ √(ab). Fatto. Il quadrato è zero solo se √a = √b, cioè a = b.
Perché servono numeri positivi: √a e √b devono esistere. Se a e b sono negativi, la disuguaglianza può non valere (per −2 e −8, la AM è −5 ma la GM è 4).
Guardalo in 3D: rettangolo e quadrati
Nella scena 3D il quadrato blu ha lo stesso perimetro del rettangolo, quindi il suo lato è la AM. Il quadrato arancione ha la stessa area del rettangolo, quindi il suo lato è la GM. Il quadrato blu ha sempre almeno l'area del rettangolo: ((a+b)/2)² ≥ ab. È la stessa disuguaglianza, disegnata. La differenza tra le due aree è ((a − b)/2)². Diventa zero solo quando a = b.
Problemi di massimo e minimo
Regola 1 (somma fissa, prodotto massimo): se a + b = S, allora ab ≤ (S/2)². Il prodotto massimo è (S/2)² e si ottiene per a = b = S/2.
Regola 2 (prodotto fisso, somma minima): se ab = P, allora a + b ≥ 2√P. La somma minima è 2√P e si ottiene per a = b = √P.
Forme utili: x + 1/x ≥ 2 per x > 0 (uguaglianza per x = 1). Inoltre a/b + b/a ≥ 2 per a, b positivi. E a² + b² ≥ 2ab per ogni a, b reali.
Come risolvere (3 controlli): (1) Tutti i termini sono positivi? (2) Il prodotto (o la somma) è una costante, senza x? (3) I termini possono diventare uguali? Se sì, la risposta si raggiunge quando sono uguali. Esempio: x + 9/x. Il prodotto x · 9/x = 9 è costante, quindi x + 9/x ≥ 2√9 = 6, con uguaglianza quando x = 9/x, cioè x = 3.
Più numeri: per n numeri positivi, la AM resta ≥ la GM, con uguaglianza solo quando tutti i numeri sono uguali.
Provalo a casa
Prendi uno spago di 24 cm. Con esso fai un rettangolo: prima 10 × 2, poi 8 × 4, poi 6 × 6. Disegna ognuno su carta quadrettata e conta i quadretti dentro: 20, 32, 36. Prima prevedi, poi conta. Vince il quadrato. Nel 3D, scegli 'somma fissa' e trascina a fino a 5 per vedere la stessa cosa.
Formule e definizioni chiave
- AM = (a + b)/2, GM = √(ab) (a, b > 0)
- AM ≥ GM, cioè (a + b)/2 ≥ √(ab); uguali solo se a = b
- a + b ≥ 2√(ab); ab ≤ ((a + b)/2)²
- Somma S fissa: prodotto massimo = (S/2)² per a = b = S/2
- Prodotto P fisso: somma minima = 2√P per a = b = √P
- x + 1/x ≥ 2 per x > 0; a² + b² ≥ 2ab per ogni a, b reali
Esempi svolti
1. Trova la AM e la GM di 4 e 16. Verifica che AM ≥ GM.
AM = (4 + 16)/2 = 10. GM = √(4 × 16) = √64 = 8. Poiché 10 ≥ 8, vale AM ≥ GM. Non sono uguali perché 4 ≠ 16.
2. Due numeri positivi hanno somma 14. Qual è il prodotto più grande possibile?
La somma S = 14 è fissa. Il prodotto è massimo quando i due numeri sono uguali: 7 e 7. Prodotto massimo = 7 × 7 = 49. Controllo: 6 × 8 = 48 è più piccolo.
3. Un contadino ha 60 m di recinzione per un campo rettangolare. Trova l'area massima.
Due lati a e b usano metà della recinzione: a + b = 30. Il prodotto ab è massimo quando a = b = 15. Area massima = 15 × 15 = 225 m².
4. Trova il valore minimo di x + 16/x per x > 0.
Entrambi i termini sono positivi. Il loro prodotto x · 16/x = 16 è costante. Quindi x + 16/x ≥ 2√16 = 8. Uguaglianza quando x = 16/x, cioè x² = 16 e x = 4. Minimo = 8 per x = 4.
5. Dimostra che a² + b² ≥ 2ab per ogni a e b reali.
(a − b)² ≥ 0 perché un quadrato non è mai negativo. Sviluppa: a² − 2ab + b² ≥ 0. Porta 2ab a destra: a² + b² ≥ 2ab. Uguaglianza solo quando a = b.
6. Trova il valore minimo di 2x + 8/x per x > 0 e il valore di x in cui si ottiene.
Il prodotto dei due termini è 2x · 8/x = 16, una costante. Quindi 2x + 8/x ≥ 2√16 = 8. Uguaglianza quando 2x = 8/x, cioè x² = 4 e x = 2. Minimo = 8 per x = 2.
7. Per 0 < x < 6, trova il valore massimo di x(6 − x).
I due numeri x e 6 − x sono positivi e hanno somma 6, una costante. Quindi il prodotto è massimo quando x = 6 − x, cioè x = 3. Il valore massimo è 3 × 3 = 9.
Errori comuni
- Usare AM–GM con numeri negativi. Entrambi i numeri devono essere positivi.
- Dimenticare di controllare che il prodotto (o la somma) sia costante. Per x + 1/x funziona. Per x + x² il prodotto è x³, non una costante, quindi non funziona.
- Scrivere un minimo senza controllare che l'uguaglianza possa davvero verificarsi. Per x + 1/x i termini sono uguali per x = 1, quindi il minimo 2 è reale. Controlla sempre il caso di uguaglianza.
- Pensare che AM ≥ GM significhi che la AM è sempre strettamente maggiore. Sono uguali quando a = b.