指数不等式、对数不等式和无理（根式）不等式

指数不等式：先看底数

指数不等式是未知数在指数位置的不等式，比如 2ˣ > 8。（指数就是右上角的小数字。）

第1步：把两边写成同一个底数：2ˣ > 2³。

第2步：比较指数。由底数决定怎么比：

• 底数大于1（比如 2 或 10）：曲线上升，不等号不变。2ˣ > 2³ 得 x > 3。
• 底数在0和1之间（比如 ½）：曲线下降，不等号变向。(½)ˣ > (½)³ 得 x < 3。

幂永远不会是0或负数，所以 2ˣ > −5 对所有 x 都成立，而 2ˣ < −5 永远不成立。

藏起来的二次不等式：对于 4ˣ − 3·2ˣ + 2 < 0，令 t = 2ˣ（t > 0）。那么 t² − 3t + 2 < 0，所以 1 < t < 2，于是 0 < x < 1。

对数不等式：先求定义域

对数回答的问题是“要用哪个指数才能得到这个数？”。log₂ 8 = 3，因为 2³ = 8。只有当里面的数大于0时，对数才存在。

解 log_a f(x) < log_a g(x) 的步骤：

1. 先写定义域：f(x) > 0 且 g(x) > 0。
2. 底数大于1：不等号不变，f < g。底数在0和1之间：不等号变向，f > g。
3. 把结果和定义域合起来（只取两者共同的部分）。

例子：log₂(x − 1) < 3。定义域：x > 1。比较：x − 1 < 8，所以 x < 9。答案：1 < x < 9。

需要时，可以把普通数字写成对数：3 = log₂ 8。

无理（根式）不等式

无理不等式是未知数在根号下的不等式，比如 √(x + 2) < x。平方根永远不是负数，根号下面的数也不能是负数。

情形 √f < g（根号比较小）。三个条件必须同时成立：f ≥ 0，g > 0，且 f < g²。

情形 √f > g（根号比较大）。有两条路，最后用“或”合并：

• g < 0 且 f ≥ 0（大于等于0的根号总是比负数大），或者
• g ≥ 0 且 f > g²。

除非你确定两边都不是负数，否则不要两边平方。只有这时平方才安全。

例子：√(x + 2) < x。定义域 x ≥ −2。需要 x > 0。平方：x + 2 < x²，所以 x² − x − 2 > 0，所以 x > 2 或 x < −1。结合 x > 0，答案是 x > 2。

每个答案都要检验

在答案里取一个数，在答案外也取一个数，分别代入原不等式。答案里的数必须得“真”，答案外的数必须得“假”（或者“不允许”）。在3D图板里，绿色条是成立的区域，红色条是禁区。

对于混合题，可以用符号表：标出每个部分变号的点，在每一段里试一个数，保留成立的那些段。

试一试：先猜，再检验

在3D图板里选 2^x > 4。滑动之前先猜一猜：x = 1 在绿色条里吗？把测试点 x 滑到 1，读出“真”还是“假”。再选 (1/2)^x > 4，对 x = 1 再猜一次。回家后：把一张纸对折，再对折，不停地折。折5次后有 2⁵ = 32 层。折几次会超过1000层？（2ˣ > 1000 得 10 次。）

重点公式和概念

• a > 1: aᶠ > aᵍ ⇔ f > g
• 0 < a < 1: aᶠ > aᵍ ⇔ f < g
• a > 1: logₐ f > logₐ g ⇔ f > g > 0
• 0 < a < 1: logₐ f > logₐ g ⇔ 0 < f < g
• √f < g ⇔ f ≥ 0, g > 0, f < g²
• √f > g ⇔ (g < 0, f ≥ 0) or (g ≥ 0, f > g²)

例题讲解

常见错误

• 底数在0和1之间时忘了让不等号变向。每次先看一眼底数。
• 跳过对数的定义域。log(x − 1) 需要 x > 1，即使代数算出来的范围更大。
• g 为负数时还对 √f > g 两边平方。负的 g 本来就比任何根号小。
• 令 2ˣ = t 却忘了 t > 0。2 的幂永远不会是0或负数，所以要舍去 t ≤ 0。