삼각함수: 원에서 파동까지
반지름이 1인 원 위에 점을 놓고 각 θ만큼 돌려 봐요. 점의 높이는 sin θ, 가로 위치는 cos θ예요. θ가 커지면 높이는 1까지 올라갔다가 −1까지 내려가고 다시 돌아와요. 360°(2π 라디안)마다 반복되는 파동이에요. 그래서 사인과 코사인은 소리, 빛, 흔들리는 추를 나타내는 데 쓰여요.
각은 라디안으로도 나타내요. π 라디안 = 180°예요. 점이 반지름 1인 원 위에 있으니 언제나 sin²θ + cos²θ = 1 이에요.
미적분: 미분(기울기)과 적분(넓이)
미분은 어떤 것이 얼마나 빨리 변하는지 알려 줘요. 그래프에서는 접선의 기울기예요. 접선은 곡선의 한 점에만 닿는 직선이에요. 가까운 두 점을 잡고 점점 더 가깝게 하면, 두 점을 잇는 직선의 기울기는 접선의 기울기에 가까워져요.
처음 배울 규칙(거듭제곱 규칙): y = xⁿ 이면 dy/dx = n xⁿ⁻¹ 이에요. 그래서 y = x² 의 기울기는 2x, y = x²/4 의 기울기는 x/2 예요.
적분은 아주 얇은 조각을 많이 더해 곡선 아래 넓이를 구해요. 막대로 하면 넓이 ≈ (높이 × 너비)의 합이에요. 막대가 많고 얇을수록 더 정확해요. y = xⁿ 이면 ∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) 이에요. y = x²/4 아래 0부터 4까지의 넓이는 4³/12 = 5.33 이에요.
미분과 적분은 서로를 되돌려요. 이 관계가 미적분의 기본 정리예요.
기하: 도형과 입체
좌표기하에서는 도형을 숫자로 나타내요. 두 점 (x₁, y₁), (x₂, y₂) 사이의 거리는 √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²) 이고, 중심이 (0, 0)이고 반지름이 r인 원은 x² + y² = r² 이에요.
입체도형으로 가 볼게요. 반지름 r, 높이 h = 2r 인 원기둥이 있어요. 같은 크기의 원뿔은 원기둥의 3분의 1을 담고, 원기둥 안에 딱 들어가는 구는 3분의 2를 담아요.
V(원기둥) = πr²h, V(원뿔) = πr²h/3, V(구) = 4πr³/3.
아르키메데스가 2,000년도 더 전에 이 1 : 2 : 3 비율을 찾아냈어요. 3D에서 원뿔과 구를 원기둥에 부어 보면 정확히 가득 차요.
확률과 통계
확률 = 원하는 경우의 수 ÷ 같은 가능성을 가진 모든 경우의 수예요. 주사위 두 개는 6 × 6 = 36가지예요. 합이 7이 되는 방법은 6가지(1+6, 2+5, 3+4, 4+3, 5+2, 6+1)라서 P(7) = 6/36 = 1/6 이고, P(2) = 1/36 보다 커요. 그래서 가운데 막대가 가장 높아요.
통계는 자료를 설명해요. 평균은 값들의 대푯값이에요. 표준편차는 값들이 평균에서 보통 얼마나 퍼져 있는지 말해 줘요. 작은 우연이 많이 쌓이면(주사위를 두 개 이상 쓰는 경우처럼) 결과 막대그래프가 매끄러운 종 모양 곡선, 즉 정규분포가 돼요. 값의 약 68%는 평균에서 표준편차 1 이내에 있어요.
직접 해 보기와 다음 공부
직접 해 봐요. 3D에서 주사위를 100번 굴리기 전에 어느 막대가 가장 높을지 예상해 보세요. 그다음 100번 더 굴려요. 많이 굴릴수록 파란 막대가 주황색 윤곽선에 가까워져요.
다음에는 더 깊이 공부해 봐요: 단위원, 미분, 적분, 입체도형, 정규분포.
핵심 공식과 정의
- sin²θ + cos²θ = 1; π rad = 180°
- d/dx (xⁿ) = n xⁿ⁻¹
- ∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹ / (n + 1) + C
- V(원기둥) = πr²h; V(원뿔) = ⅓ πr²h; V(구) = 4⁄3 πr³
- P(사건) = 원하는 경우 ÷ 전체 경우; 평균 = 합 ÷ 개수
풀이 예제
1. θ가 예각이고 cos θ = 0.6 일 때, sin θ를 구하세요.
sin²θ + cos²θ = 1 이므로 sin²θ = 1 − 0.36 = 0.64 예요. θ가 예각이라 양수이니 sin θ = 0.8 이에요.
2. y = 3x² + 5x 의 x = 2 에서의 기울기를 구하세요.
dy/dx = 6x + 5 예요. x = 2 이면 6 × 2 + 5 = 17 이에요.
3. y = x² 아래, x = 0 부터 x = 3 까지의 넓이를 구하세요.
넓이 = ∫₀³ x² dx = [x³/3]₀³ = 27/3 − 0 = 9 예요.
4. 반지름이 3 cm 인 구의 부피를 구하세요.
V = 4⁄3 π r³ = 4⁄3 × π × 27 = 36π ≈ 113.1 cm³ 예요.
5. 공정한 주사위 두 개를 굴려요. 합이 8일 확률을 구하세요.
합이 8이 되는 경우: (2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2) 로 36가지 중 5가지예요. P = 5/36 ≈ 0.139 예요.
6. 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 의 평균과 표준편차를 구하세요.
평균 = 40 ÷ 8 = 5 예요. 편차의 제곱은 9, 1, 1, 1, 0, 0, 4, 16 이고 합은 32 예요. 분산 = 32 ÷ 8 = 4 예요. 표준편차 = √4 = 2 예요.
자주 하는 실수
- 계산기에서 도(degree)와 라디안을 섞어 쓰는 실수예요. 먼저 모드를 확인하세요.
- 미분할 때 지수를 1 줄이는 것을 잊는 실수예요. x³ 의 미분은 3x² 이지 3x³ 이 아니에요.
- 부정적분을 구할 때 + C 를 빼먹는 실수예요.
- 주사위 결과를 합 2부터 12까지 11가지가 똑같이 일어난다고 세는 실수예요. 합은 같은 확률이 아니고, 같은 확률인 경우는 36가지예요.