Trigonometría: del círculo a la onda
Pon un punto en un círculo de radio 1 y gíralo un ángulo θ. Su altura es sen θ y su posición hacia el lado es cos θ. Al crecer θ, la altura sube hasta 1, baja hasta −1 y vuelve: una onda que se repite cada 360° (2π radianes). Por eso el seno y el coseno describen el sonido, la luz y el vaivén de un péndulo.
Los ángulos pueden medirse en radianes: π radianes = 180°. En el círculo siempre se cumple: sen²θ + cos²θ = 1, porque el punto está en un círculo de radio 1.
Cálculo: derivada (pendiente) e integral (área)
La derivada dice qué tan rápido cambia algo. En una gráfica es la pendiente de la tangente, la recta que toca la curva justo en un punto. Toma dos puntos cercanos y acércalos cada vez más: la pendiente de la recta que los une se acerca a la pendiente de la tangente.
Primera regla (regla de la potencia): si y = xⁿ entonces dy/dx = n xⁿ⁻¹. Así, para y = x² la pendiente es 2x, y para y = x²/4 es x/2.
La integral suma muchas rebanadas delgadas para hallar el área bajo una curva. Con barras: área ≈ suma de (altura × ancho). Más barras y más delgadas dan una respuesta mejor. Para y = xⁿ, ∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1). El área bajo y = x²/4 de 0 a 4 es 4³/12 = 5.33.
La derivada y la integral se deshacen una a la otra. Esta relación es el teorema fundamental del cálculo.
Geometría: figuras y sólidos
En la geometría analítica describimos las figuras con números. La distancia entre (x₁, y₁) y (x₂, y₂) es √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²), y un círculo con centro (0, 0) y radio r es x² + y² = r².
Para los sólidos, toma un cilindro de radio r y altura h = 2r. Un cono del mismo tamaño guarda un tercio de su volumen y una esfera que cabe justo dentro guarda dos tercios:
V(cilindro) = πr²h, V(cono) = πr²h/3, V(esfera) = 4πr³/3.
Arquímedes descubrió esta razón 1 : 2 : 3 hace más de 2000 años. En el 3D puedes verter el cono y la esfera dentro del cilindro: lo llenan justo.
Probabilidad y estadística
Probabilidad = casos favorables ÷ todos los casos igualmente posibles. Con dos dados hay 6 × 6 = 36 resultados. La suma 7 puede salir de 6 maneras (1+6, 2+5, 3+4, 4+3, 5+2, 6+1), así que P(7) = 6/36 = 1/6, más que P(2) = 1/36. Por eso la barra del medio es la más alta.
La estadística describe datos. La media es el promedio. La desviación estándar indica cuánto se alejan los valores de la media, normalmente. Cuando se suman muchas pequeñas probabilidades (como con dos o más dados), el gráfico de barras de los resultados forma una curva de campana suave, la distribución normal. Cerca del 68 % de los valores está a una desviación estándar de la media.
Pruébalo y qué aprender después
Pruébalo: lanza los dados 100 veces en el 3D y predice qué barra será la más alta antes de mirar. Luego lanza 100 más. Cuantas más veces lances, más se parecen las barras azules al contorno naranja.
Después, profundiza con: Círculo unitario, Derivadas, Integración, Geometría de sólidos y Distribución normal.
Fórmulas y definiciones clave
- sen²θ + cos²θ = 1; π rad = 180°
- d/dx (xⁿ) = n xⁿ⁻¹
- ∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹ / (n + 1) + C
- V(cilindro) = πr²h; V(cono) = ⅓ πr²h; V(esfera) = 4⁄3 πr³
- P(suceso) = favorables ÷ total; media = suma ÷ cantidad
Ejemplos resueltos
1. Si θ es agudo y cos θ = 0.6, halla sen θ.
sen²θ + cos²θ = 1, así que sen²θ = 1 − 0.36 = 0.64. sen θ = 0.8 (positivo, porque θ es agudo).
2. Halla la pendiente de y = 3x² + 5x en x = 2.
dy/dx = 6x + 5. En x = 2: 6 × 2 + 5 = 17.
3. Halla el área bajo y = x² de x = 0 a x = 3.
Área = ∫₀³ x² dx = [x³/3]₀³ = 27/3 − 0 = 9.
4. Halla el volumen de una esfera de radio 3 cm.
V = 4⁄3 π r³ = 4⁄3 × π × 27 = 36π ≈ 113.1 cm³.
5. Se lanzan dos dados justos. Halla la probabilidad de que la suma sea 8.
Maneras de sacar 8: (2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2) = 5 maneras de 36. P = 5/36 ≈ 0.139.
6. Halla la media y la desviación estándar de 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9.
Media = 40 ÷ 8 = 5. Diferencias al cuadrado: 9, 1, 1, 1, 0, 0, 4, 16 = 32. Varianza = 32 ÷ 8 = 4. Desviación estándar = √4 = 2.
Errores comunes
- Mezclar grados y radianes en la calculadora. Revisa primero el modo.
- Olvidar bajar la potencia en uno al derivar: la derivada de x³ es 3x², no 3x³.
- Olvidar el + C al hallar una integral indefinida.
- Contar los resultados de los dados como 11 casos iguales (sumas de 2 a 12). Las sumas no son igual de probables: hay 36 resultados igualmente posibles.