Trigonométrie : du cercle à l'onde
Place un point sur un cercle de rayon 1 et fais-le tourner d'un angle θ. Sa hauteur est sin θ et sa position horizontale est cos θ. Quand θ augmente, la hauteur monte jusqu'à 1, descend à −1 et revient : c'est une onde qui se répète tous les 360° (2π radians). Voilà pourquoi le sinus et le cosinus décrivent le son, la lumière et le balancement d'un pendule.
Les angles peuvent être en radians : π radians = 180°. Sur le cercle, c'est toujours vrai : sin²θ + cos²θ = 1, car le point est sur un cercle de rayon 1.
Analyse : dérivée (pente) et intégrale (aire)
La dérivée dit à quelle vitesse quelque chose change. Sur un graphique, c'est la pente de la tangente, la droite qui touche la courbe en un seul point. Prends deux points proches et rapproche-les de plus en plus : la pente de la droite qui les relie se stabilise sur la pente de la tangente.
Première règle (dérivée d'une puissance) : si y = xⁿ alors dy/dx = n xⁿ⁻¹. Donc pour y = x² la pente est 2x, et pour y = x²/4 elle est x/2.
L'intégrale additionne plein de fines tranches pour trouver l'aire sous une courbe. Avec des barres : aire ≈ somme de (hauteur × largeur). Plus de barres, plus fines, donnent un meilleur résultat. Pour y = xⁿ, ∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1). L'aire sous y = x²/4 de 0 à 4 vaut 4³/12 = 5.33.
La dérivée et l'intégrale s'annulent l'une l'autre. Ce lien s'appelle le théorème fondamental de l'analyse.
Géométrie : formes et solides
En géométrie analytique, on décrit les formes avec des nombres. La distance entre (x₁, y₁) et (x₂, y₂) est √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²), et un cercle de centre (0, 0) et de rayon r a pour équation x² + y² = r².
Pour les solides, prends un cylindre de rayon r et de hauteur h = 2r. Un cône de même taille en contient un tiers et une sphère qui y entre juste en contient deux tiers :
V(cylindre) = πr²h, V(cône) = πr²h/3, V(sphère) = 4πr³/3.
Archimède a trouvé ce rapport 1 : 2 : 3 il y a plus de 2 000 ans. Dans la 3D, tu peux verser le cône et la sphère dans le cylindre : ils le remplissent exactement.
Probabilités et statistiques
Probabilité = cas favorables ÷ tous les cas également probables. Avec deux dés, il y a 6 × 6 = 36 résultats. Une somme de 7 peut arriver de 6 façons (1+6, 2+5, 3+4, 4+3, 5+2, 6+1), donc P(7) = 6/36 = 1/6, plus que P(2) = 1/36. C'est pour cela que la barre du milieu est la plus haute.
Les statistiques décrivent des données. La moyenne est la valeur moyenne. L'écart type indique de combien les valeurs s'écartent en général de la moyenne. Quand beaucoup de petits hasards s'additionnent (comme avec plusieurs dés), le diagramme en barres des résultats forme une courbe en cloche lisse, la loi normale. Environ 68 % des valeurs se trouvent à moins d'un écart type de la moyenne.
Essaie et découvre la suite
Essaie : lance les dés 100 fois dans la 3D et devine quelle barre sera la plus haute avant de regarder. Puis lance-les 100 fois de plus. Plus tu lances, plus les barres bleues se rapprochent du contour orange.
Ensuite, va plus loin avec : Cercle trigonométrique, Dérivées, Intégration, Géométrie des solides et Loi normale.
Formules et définitions clés
- sin²θ + cos²θ = 1; π rad = 180°
- d/dx (xⁿ) = n xⁿ⁻¹
- ∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹ / (n + 1) + C
- V(cylindre) = πr²h; V(cône) = ⅓ πr²h; V(sphère) = 4⁄3 πr³
- P(événement) = cas favorables ÷ total; moyenne = somme ÷ effectif
Exemples résolus
1. Si θ est aigu et cos θ = 0.6, trouve sin θ.
sin²θ + cos²θ = 1, donc sin²θ = 1 − 0.36 = 0.64. sin θ = 0.8 (positif, car θ est aigu).
2. Trouve la pente de y = 3x² + 5x en x = 2.
dy/dx = 6x + 5. En x = 2 : 6 × 2 + 5 = 17.
3. Trouve l'aire sous y = x² de x = 0 à x = 3.
Aire = ∫₀³ x² dx = [x³/3]₀³ = 27/3 − 0 = 9.
4. Trouve le volume d'une sphère de rayon 3 cm.
V = 4⁄3 π r³ = 4⁄3 × π × 27 = 36π ≈ 113.1 cm³.
5. On lance deux dés équilibrés. Trouve la probabilité que la somme soit 8.
Façons d'obtenir 8 : (2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2) = 5 façons sur 36. P = 5/36 ≈ 0.139.
6. Trouve la moyenne et l'écart type de 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9.
Moyenne = 40 ÷ 8 = 5. Écarts au carré : 9, 1, 1, 1, 0, 0, 4, 16 = 32. Variance = 32 ÷ 8 = 4. Écart type = √4 = 2.
Erreurs fréquentes
- Mélanger degrés et radians sur la calculatrice. Vérifie d'abord le mode.
- Oublier de baisser la puissance de un quand on dérive : la dérivée de x³ est 3x², pas 3x³.
- Oublier le + C quand on cherche une primitive (intégrale indéfinie).
- Compter les résultats de deux dés comme 11 cas équiprobables (sommes de 2 à 12). Les sommes ne sont pas également probables : il y a 36 résultats équiprobables.