Les courbes : droites, coniques et chemins paramétrés
Une courbe est le chemin d'un point qui bouge. Le cercle, l'ellipse, la parabole et l'hyperbole sont les quatre sections coniques : elles apparaissent quand un plan coupe un cône avec différentes inclinaisons. Une coupe horizontale donne un cercle, une légère inclinaison donne une ellipse, une coupe parallèle à la génératrice donne une parabole, et une coupe très inclinée qui traverse les deux nappes d'un double cône donne une hyperbole. Voir Sections coniques pour leurs équations.
Une courbe peut aussi s'écrire avec un paramètre : x = f(t) et y = g(t). Par exemple x = cos t, y = sin t dessine un cercle quand t va de 0 à 2π. C'est l'idée des équations paramétriques.
Constructions : dessiner avec précision
Une construction trace une figure avec seulement une règle non graduée et un compas. Tu peux partager un angle en deux, tracer une médiatrice, reporter un angle et construire un triangle équilatéral. Chaque étape utilise le fait que tous les points d'un cercle sont à la même distance du centre. Les détails sont dans Constructions géométriques.
Pourquoi c'est utile ici : les constructions sont la façon dont on dessinait les courbes de contour et les sections des surfaces bien avant les ordinateurs.
Les surfaces de révolution
Une surface est une peau fine en 3D, avec deux directions le long d'elle. Une surface de révolution se fabrique en faisant tourner une courbe génératrice autour d'une droite appelée axe. Si la courbe est à la distance r(y) de l'axe à la hauteur y, alors chaque point de la surface vérifie x² + z² = r(y)².
Exemples avec l'axe vertical : une droite verticale r = constante donne un cylindre ; une droite inclinée r = k|y| donne un cône ; une parabole donne un paraboloïde (bol) ; et une hyperbole donne un hyperboloïde (tour de refroidissement).
Couper une surface (sections)
Coupe la surface avec un plan horizontal à la hauteur y. Pour une surface de révolution, une coupe perpendiculaire à l'axe est toujours un cercle de rayon r(y). Son aire est πr². Une coupe le long de l'axe montre la courbe génératrice elle-même.
La même astuce marche pour tout solide : pour comprendre une surface, coupe-la et regarde les courbes obtenues.
Formules et définitions clés
- Surface de révolution autour de l'axe y : x² + z² = r(y)²
- Cylindre : r(y) = c (constante)
- Cône : r(y) = k·y
- Coupe circulaire : aire = π·r(y)²
- Cercle paramétré : x = cos t, y = sin t, 0 ≤ t ≤ 2π
- Ellipse paramétrée : x = a cos t, y = b sin t
Exemples résolus
1. Une droite verticale située à 3 cm de l'axe tourne autour de l'axe. Nomme la surface et donne le rayon d'une coupe.
La courbe est r = 3, une constante, donc la surface est un cylindre. Chaque coupe est un cercle de rayon 3 cm.
2. Un cône a r(y) = 0.5y. Trouve le rayon de la coupe à y = 4.
r = 0.5 × 4 = 2. La coupe est un cercle de rayon 2.
3. Pour le cône r = 0.5y, trouve l'aire de la coupe à y = 4.
Aire = π r² = π × 2² = 4π ≈ 12.57 unités carrées.
4. Une tour a r(y) = √(1 + y²), avec y mesuré depuis le milieu. Trouve le rayon à la taille (le plus étroit) et à y = 3.
À y = 0, r = √1 = 1 : c'est la taille, la partie la plus étroite. À y = 3, r = √(1 + 9) = √10 ≈ 3.16. La tour est plus large aux extrémités.
5. Un plan coupe un cône parallèlement à sa génératrice. Quelle conique apparaît ?
Une parabole. Une coupe horizontale donne un cercle, une petite inclinaison une ellipse, une coupe parallèle à la génératrice une parabole, et une coupe très inclinée à travers les deux nappes une hyperbole.
Erreurs fréquentes
- Croire que la courbe génératrice et la surface sont la même chose. La surface est ce que la courbe balaie en tournant.
- Oublier que x² + z² = r² est un cercle pour chaque y fixé, et non une seule courbe plate.
- Confondre le cône et le paraboloïde. Une génératrice droite donne un cône ; une parabole courbe donne un bol.
- Appeler cercle toute coupe. Une coupe perpendiculaire à l'axe est un cercle, mais une coupe inclinée d'un cône peut être une ellipse, une parabole ou une hyperbole.