Krommen: lijnen, kegelsneden en parametrische paden
Een kromme is het pad van een bewegend punt. Een cirkel, een ellips, een parabool en een hyperbool zijn de vier kegelsneden: ze ontstaan als een vlak een kegel onder verschillende hoeken doorsnijdt. Een horizontale snede geeft een cirkel, een lichte kanteling een ellips, een snede evenwijdig aan de schuine zijde een parabool, en een steile snede door beide helften van een dubbele kegel een hyperbool. Zie Kegelsneden voor hun vergelijkingen.
Een kromme kun je ook met een parameter opschrijven: x = f(t) en y = g(t). Bijvoorbeeld x = cos t, y = sin t tekent een cirkel terwijl t van 0 tot 2π loopt. Dit idee staat in Parametervergelijkingen.
Constructies: exact tekenen
Bij een constructie teken je een figuur met alleen een liniaal zonder streepjes en een passer. Je kunt een hoek middendoor delen, een middelloodlijn tekenen, een hoek kopiëren en een gelijkzijdige driehoek maken. Elke stap gebruikt het feit dat elk punt op een cirkel even ver van het middelpunt ligt. De details staan in Meetkundige constructies.
Waarom dit hier telt: met constructies tekende men de buitenlijnen en doorsneden van oppervlakken, lang voordat er computers waren.
Omwentelingsoppervlakken
Een oppervlak is een dun velletje in 3D, met twee richtingen erlangs. Een omwentelingsoppervlak ontstaat door een profielkromme te draaien om een rechte lijn, de as. Als het profiel op hoogte y een afstand r(y) van de as heeft, dan geldt voor elk punt van het oppervlak x² + z² = r(y)².
Voorbeelden met een rechtopstaande as: een verticale lijn r = constante geeft een cilinder; een schuine lijn r = k|y| geeft een kegel; een parabool geeft een paraboloïde (kom); en een hyperbool geeft een hyperboloïde (koeltoren).
Een oppervlak doorsnijden (dwarsdoorsneden)
Snijd het oppervlak door met een vlak op hoogte y. Bij een omwentelingsoppervlak is een snede loodrecht op de as altijd een cirkel met straal r(y). De oppervlakte is πr². Een snede langs de as laat de profielkromme zelf zien.
Dezelfde truc werkt voor elk voorwerp: om een oppervlak te begrijpen, snijd je het door en bekijk je de krommen die je krijgt.
Belangrijke formules en begrippen
- Omwentelingsoppervlak om de y-as: x² + z² = r(y)²
- Cilinder: r(y) = c (constant)
- Kegel: r(y) = k·y
- Cirkelsnede: oppervlakte = π·r(y)²
- Cirkel met parameter: x = cos t, y = sin t, 0 ≤ t ≤ 2π
- Ellips met parameter: x = a cos t, y = b sin t
Uitgewerkte voorbeelden
1. Een verticale lijn op 3 cm van de as wordt om de as gedraaid. Noem het oppervlak en geef de straal van een snede.
Het profiel is r = 3, een constante, dus het oppervlak is een cilinder. Elke snede is een cirkel met straal 3 cm.
2. Een kegel heeft r(y) = 0.5y. Bereken de straal van de snede bij y = 4.
r = 0.5 × 4 = 2. De snede is een cirkel met straal 2.
3. Bereken voor de kegel r = 0.5y de oppervlakte van de snede bij y = 4.
Oppervlakte = π r² = π × 2² = 4π ≈ 12.57 vierkante eenheden.
4. Een toren heeft r(y) = √(1 + y²), met y gemeten vanaf het midden. Bereken de straal bij de taille en bij y = 3.
Bij y = 0 is r = √1 = 1: de taille, het smalste deel. Bij y = 3 is r = √(1 + 9) = √10 ≈ 3.16. Aan de uiteinden is hij breder.
5. Een vlak snijdt een kegel evenwijdig aan zijn schuine zijde. Welke kegelsnede ontstaat?
Een parabool. Een horizontale snede geeft een cirkel, een kleine kanteling een ellips, een snede evenwijdig aan de zijde een parabool, en een steile snede door beide helften een hyperbool.
Veelgemaakte fouten
- Denken dat de profielkromme en het oppervlak hetzelfde zijn. Het oppervlak is wat de kromme uitveegt als ze draait.
- Vergeten dat x² + z² = r² voor elke vaste y een cirkel is, en niet één enkele platte kromme.
- De kegel en de paraboloïde door elkaar halen. Een recht profiel geeft een kegel; een gebogen parabool geeft een kom.
- Elke doorsnede een cirkel noemen. Een snede loodrecht op de as is een cirkel, maar een schuine snede van een kegel kan een ellips, parabool of hyperbool zijn.