Кривые: прямые, конические сечения и параметрические пути
Кривая — это путь движущейся точки. Окружность, эллипс, парабола и гипербола — четыре конических сечения: они появляются, когда плоскость рассекает конус под разным наклоном. Ровное сечение даёт окружность, небольшой наклон даёт эллипс, сечение параллельно образующей даёт параболу, а крутое сечение, которое задевает обе половины двойного конуса, даёт гиперболу. Уравнения смотрите в уроке Конические сечения.
Кривую можно задать и через параметр: x = f(t) и y = g(t). Например, x = cos t, y = sin t рисует окружность, когда t меняется от 0 до 2π. Эта идея разобрана в уроке Параметрические уравнения.
Построения: рисуем точно
Построение — это рисунок фигуры только с помощью линейки без делений и циркуля. Можно разделить угол пополам, провести серединный перпендикуляр, перенести угол и построить равносторонний треугольник. Каждый шаг опирается на то, что все точки окружности находятся на одинаковом расстоянии от центра. Подробности — в уроке Геометрические построения.
Почему это важно здесь: именно построениями рисовали контурные кривые и сечения поверхностей задолго до компьютеров.
Поверхности вращения
Поверхность — это тонкая оболочка в 3D, по которой можно двигаться в двух направлениях. Поверхность вращения получается, если вращать профильную кривую вокруг прямой, которая называется осью. Если на высоте y профиль находится на расстоянии r(y) от оси, то каждая точка поверхности удовлетворяет уравнению x² + z² = r(y)².
Примеры при вертикальной оси: вертикальная прямая r = постоянная даёт цилиндр; наклонная прямая r = k|y| даёт конус; парабола даёт параболоид (чашу); гипербола даёт гиперболоид (градирню).
Сечения поверхности
Рассеките поверхность плоскостью на высоте y. Для поверхности вращения сечение поперёк оси — всегда круг радиуса r(y). Его площадь равна πr². Сечение вдоль оси показывает саму профильную кривую.
Тот же приём работает для любого тела: чтобы понять поверхность, рассеките её и посмотрите на получившиеся кривые.
Главные формулы и определения
- Поверхность вращения вокруг оси y: x² + z² = r(y)²
- Цилиндр: r(y) = c (постоянная)
- Конус: r(y) = k·y
- Круглое сечение: площадь = π·r(y)²
- Окружность через параметр: x = cos t, y = sin t, 0 ≤ t ≤ 2π
- Эллипс через параметр: x = a cos t, y = b sin t
Разобранные примеры
1. Вертикальная прямая на расстоянии 3 см от оси вращается вокруг этой оси. Назовите поверхность и найдите радиус сечения.
Профиль r = 3 — постоянная, значит, поверхность — цилиндр. Каждое сечение — круг радиуса 3 см.
2. У конуса r(y) = 0.5y. Найдите радиус сечения при y = 4.
r = 0.5 × 4 = 2. Сечение — круг радиуса 2.
3. Для конуса r = 0.5y найдите площадь сечения при y = 4.
Площадь = π r² = π × 2² = 4π ≈ 12.57 квадратных единиц.
4. У башни r(y) = √(1 + y²), где y отсчитывается от середины. Найдите радиус на «талии» и при y = 3.
При y = 0: r = √1 = 1 — это талия, самое узкое место. При y = 3: r = √(1 + 9) = √10 ≈ 3.16. На концах башня шире.
5. Плоскость рассекает конус параллельно его боковой стороне. Какое коническое сечение получится?
Парабола. Ровное сечение даёт окружность, небольшой наклон — эллипс, сечение параллельно боковой стороне — параболу, а крутое сечение через обе половины — гиперболу.
Частые ошибки
- Считать профильную кривую и поверхность одним и тем же. Поверхность — это то, что кривая описывает при вращении.
- Забывать, что x² + z² = r² для каждого фиксированного y — это окружность, а не одна плоская кривая.
- Путать конус и параболоид. Прямой профиль даёт конус; изогнутая парабола даёт чашу.
- Называть любое сечение кругом. Сечение поперёк оси — круг, но наклонное сечение конуса может быть эллипсом, параболой или гиперболой.