曲線：直線、円錐曲線、媒介変数の道すじ
曲線とは、動く点の通り道のことです。円、楕円、放物線、双曲線の4つを円錐曲線といいます。平らな面で円錐をいろいろな傾きで切ると現れる形だからです。水平に切ると円、少し傾けると楕円、母線（円錐の斜めの辺）と平行に切ると放物線、急な角度で上下2つの円錐の両方を切ると双曲線になります。式については円錐曲線を見てください。
曲線は媒介変数を使って表すこともできます。x = f(t)、y = g(t) の形です。たとえば x = cos t、y = sin t は、t が 0 から 2π まで動くと円を描きます。この考え方は媒介変数表示で学びます。
作図：ぴったり正確に描く
作図とは、定規（目盛りのないもの）とコンパスだけで図形を描くことです。角の二等分線、垂直二等分線、角の写し取り、正三角形などが描けます。どの手順も、「円周上の点は中心から同じ距離にある」という事実を使っています。くわしくは幾何学的作図で学べます。
ここで大切な理由：コンピューターがなかった時代、輪郭の曲線や曲面の断面は作図で描かれていました。
回転面
曲面とは、3次元の中にある薄い皮のようなもので、表面に沿って2つの方向があります。回転面は、輪郭の曲線を軸とよばれる直線のまわりに回してできる曲面です。高さ y のところで輪郭が軸から距離 r(y) にあるとき、曲面上のすべての点は x² + z² = r(y)² を満たします。
軸を縦にした例：縦の直線 r = 定数 は円柱、斜めの直線 r = k|y| は円錐、放物線は放物面（お椀）、双曲線は双曲面（冷却塔）になります。
曲面を切る（断面）
高さ y のところで、平らな面で曲面を切ります。回転面を軸に垂直に切ると、切り口はいつも半径 r(y) の円です。その面積は πr² です。軸に沿って切ると、輪郭の曲線そのものが見えます。
同じ方法はどんな立体にも使えます。曲面を理解するには、切って、現れる曲線を見てみましょう。
重要な公式と用語
- y軸のまわりの回転面：x² + z² = r(y)²
- 円柱：r(y) = c（定数）
- 円錐：r(y) = k·y
- 円の断面：面積 = π·r(y)²
- 媒介変数で表した円：x = cos t, y = sin t, 0 ≤ t ≤ 2π
- 媒介変数で表した楕円：x = a cos t, y = b sin t
例題
1. 軸から 3 cm はなれた縦の直線を、軸のまわりに回します。できる曲面の名前と、切り口の半径を答えなさい。
輪郭は r = 3 で一定なので、曲面は円柱です。どの切り口も半径 3 cm の円になります。
2. 円錐が r(y) = 0.5y で表されます。y = 4 での切り口の半径を求めなさい。
r = 0.5 × 4 = 2。切り口は半径 2 の円です。
3. 円錐 r = 0.5y について、y = 4 での切り口の面積を求めなさい。
面積 = π r² = π × 2² = 4π ≈ 12.57 平方単位。
4. 塔が r(y) = √(1 + y²) で表されます（y は真ん中から測ります）。くびれ（y = 0）と y = 3 での半径を求めなさい。
y = 0 のとき r = √1 = 1。ここが最も細いくびれです。y = 3 のとき r = √(1 + 9) = √10 ≈ 3.16。両はしのほうが広くなっています。
5. 平面が円錐を、斜めの辺（母線）と平行に切ります。どの円錐曲線が現れますか。
放物線です。水平に切ると円、少し傾けると楕円、母線と平行に切ると放物線、急な角度で両方の円錐を切ると双曲線になります。
よくある間違い
- 輪郭の曲線と曲面を同じものだと思うこと。曲面は、曲線が回ったときに通る場所全体です。
- x² + z² = r² を1本の平らな曲線だと思いこむこと。y を決めるごとに1つの円になります。
- 円錐と放物面を取り違えること。輪郭がまっすぐなら円錐、曲がった放物線ならお椀です。
- 切り口がすべて円だと思いこむこと。軸に垂直に切ったときだけ円で、円錐を斜めに切ると楕円、放物線、双曲線になることがあります。